Doble radical

En matemática a las expresiones de la forma

${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}$, se las denomina doble radical donde A y B son números racionales positivos.

Ejemplos

1. ${\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
2. ${\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$

El lado l de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio r, se calcula con la fórmula

$l={\frac {r}{2}}{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}$

Transformación en radicales simples

En este caso se trata de expresar mediante la suma o diferencia de radicales simples​

${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}={\sqrt {s}}\pm {\sqrt {t}}$

Planteando las ecuaciones adecuadas se obtiene

$s={\frac {A+C}{2}}$ y $t={\frac {A-C}{2}}$ donde $C^{2}=A^{2}-B$

De modo que ${\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}={\sqrt {\frac {A+C}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {A-C}{2}}}$

Ejemplo

Descomponer ${\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}$

A = 4, B = 7

: $C^{2}=4^{2}-7=9$; de donde C = 3.

${\sqrt {\frac {A+C}{2}}}={\sqrt {\frac {4+3}{2}}}={\sqrt {\frac {7}{2}}}$

${\sqrt {\frac {A-C}{2}}}={\sqrt {\frac {4-3}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}$

${\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}={\sqrt {\frac {7}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

Condiciones

1. A y B racionales positivos
2. A² > B
3. A > C
4. A² - B, debe ser cuadrado perfecto. para obtener C.

Referencias

• Datos: Q56324236