Espacio maximalmente simétrico

Un espacio maximalmente simétrico (EMS) es un espacio métrico en el que puede definirse el concepto de dimensión y donde el grupo de simetría tiene la dimensión máxima posible. Si se considera un espacio métrico real de dimensión d la dimensión máxima posible del grupo de isometría, que es un grupo de Lie, resulta ser d(d+1)/2.

Espacio euclídeoEditar

En el espacio euclídeo el grupo de traslaciones tiene dimensión d y el de rotaciones tiene dimensión:

 

La combinación de traslaciones, rotaciones y simetría especulares y de inversión varias da el grupo de isometría del espacio que por tanto tiene dimensión:

 

El grupo de isometría del espacio euclídeo admite el siguiente isomorfismo:

 

donde   es el grupo ortogonal d-dimensional.

Variedades riemannianasEditar

 
Una superficie esférica S2 constituye un caso de espacio bidimensional maximalmente simétrico.

Los espacios de curvatura constante el tensor de curvatura de Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresión:

 

donde   es el tensor métrico expresado en coordenadas curvilíneas cualesquiera. En tensor de Ricci   y la curvatura escalar  son proporcionales respectivamente al tensor métrico y a la curvatura:

 

y donde   es la dimensión del espacio.

La geometría hiperbólica y la geometría elíptica (además de la geometría euclídea) son casos particulares de geometrías riemannianas uniformes que son maximalmente simétricas. Para las geometrías hiperbólica y elíptica existe un parámetro llamado "radio" R relacionado con el valor no nulo de C mediante la relación:

 

escogiendo el sistema de unidades adecuadamente puede obtenerse |R| = 1 y por tanto |C| = 1. En el caso de la geometría elíptica R coincide con el radio de la n-esfera que se use como modelo de geometría elíptica.

Los grupos de isometría de los espacios maximalmente simétricos de curvatura positiva y negativa son:

 

Donde:

 , son repsectivamente el EMS de curvatura positiva y el EMS de curvatura negativa.
 , es el grupo ortogonal d+1-dimensional.
 , es el subgrupo ortocrono del grupo de Lorentz d+1-dimensional.

ReferenciaEditar

  • John M. Lee (1997), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98271-X.