Diferencia entre revisiones de «Seno (trigonometría)»
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En [[matemáticas]] el '''seno''' es la [[Función matemática|función]] obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.
== Etimología ==
El astrónomo y matemático hindú [[Aryabhata|Aria Bhatta]] ([[476]]–[[550|550 d. C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de ''ardhá shia'' (en inglés ''ardha-jya''),<ref>En el sitio [http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/etimologia.htm Centros5.Pntic.Mec.es] se refieren erróneamente a ''jya'' como 'jiva'', que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’.</ref> siendo ''ardhá:'' ‘mitad, medio’, y ''shiá:'' ‘cuerda’).
Por simplicidad, el término se terminó apocopando como ''shiá''.
Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al [[idioma árabe|árabe]], se referían a este término sánscrito como ''jiba'' (pronunciado ''shiba'', lo más parecido al sánscrito).
Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado ''jb''.
Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que ''jb'' era la abreviatura de ''jiab'' (que quiere decir ‘bahía’), ya que en árabe, ''jiba'' es una palabra sin sentido.
A finales del [[siglo XII]], el traductor italiano [[Gherardo de Cremona]] ([[1114]]-[[1187]]) tradujo estos escritos del árabe al [[latín]] reemplazó el insensato ''jiab'' por su contraparte latina ''sinus'' (‘hueco, cavidad, bahía’).
Luego, ese ''sinus'' se convirtió en el español «seno».<ref>{{cita libro
|autor=Howard Eves
|título=An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237)
|editorial=Saunders College Publishing House, New York
|año=1990
}}</ref>
Según otra explicación,{{citarequerida}} la [[cuerda (trigonometría)|cuerda]] de un círculo, se denomina en latín ''inscripta corda'' o simplemente ''inscripta''.
La mitad de dicha cuerda se llama ''semis inscríptae''.
Su abreviatura era ''s. ins.'', que terminó simplificada como ''sins''.
Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó ''sinus''.
== Con números complejos ==
También se puede definir de la forma:
: <math> {\rm sin}(z)=\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} </math>
Donde donde '''''e''''' es la base del logaritmo natural, e '''''i''''' es la unidad de los números imaginarios.
== Como serie de Taylor ==
El seno como [[Serie de Taylor]] es:
:<math>\sin x=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \; x^{2n+1} </math>
:<math>\sin x=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \; x^{2n+1} </math>
== Representación gráfica ==
[[Archivo:OndaSenoidal3.svg|center|600px]]
[[Archivo:Sin drawing process.gif|center|400 px]]
[[Archivo:FuncionTrigonometriaSeno.svg|340px|thumb|Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por <math> \pi </math> [[Radián]]. La función seno, denominada [[sinusoide]].]]
[[Archivo:SexaSin.svg|center|420px|thumb|left|Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x en [[Grado sexagesimal|grados sexagesimales]].]]
== Seno de una suma o una resta de ángulos ==
=== Seno de la suma de dos ángulos ===
Esta identidad trigonometrica se define a partir del [[Coseno|coseno de la diferencia de dos ángulos]]
: <math>\forall\ \theta,\phi \in \mathbb{R}</math>
* Se sabe que las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario, es decir
: <math>\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(\phi + \theta)\right]</math>
* Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta
: <math>\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos\left[(\frac{\pi}{2}-\phi)-\theta)\right]</math>
* Aplico la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia de dos ángulos, entonces
: <math>\sin\left(\phi+\theta\right)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)\cos\theta+\sin(\frac{\pi}{2}-\phi)\sin\theta</math>
* Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonométrica del ángulo completario, queda
: <math>\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta</math>
=== Seno de la diferencia de dos ángulos ===
:<math>\sin\left(\phi+(-\theta\right))=\sin\phi\cos(-\theta)+\cos\phi\sin(-\theta)</math>
* obtenemos la resta. Como el coseno es [[función par|par]], el signo no importa y como el seno es [[función impar|impar]], el signo sale.
: <math>\sin\left(\phi-\theta\right)=\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta</math>
=== Forma resumida ===
: <math>\sin\left(\phi\pm\theta\right)=\sin\phi\cos\theta\pm\cos\phi\sin\theta</math>
== Seno de un ángulo doble ==
Tenemos que
:
<math>\sin\left(\phi+\theta\right)=\sin\phi\cos\theta+\cos\phi\sin\theta</math>
:
Hagamos <math>\phi=\theta\,</math> entonces
:
<math>\sin\left(2\phi\right)=2\sin\phi\cos\phi</math>
:
== Derivada del Seno ==
* Según la definición de derivada:
: <math>f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>
* lo que es
: <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x + h)-\sin x}{h}</math>
* Entonces, usando la fórmula del seno de la suma de dos ángulos, se tiene que
: <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}</math>
* Factorizando
: <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos h-1)+\cos x\cdot\sin h}{h}</math>
* Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene
: <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cdot(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}</math>
* Como:
: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}=0,</math> esto es así ya que
: <math>\cos\phi-\cos\theta=-2\sin\Bigg(\frac{\phi+\theta}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{\theta-\phi}{2}\Bigg)</math>
:reemplazando para <math>\theta=h</math> y <math>\phi=0</math>
:Se tiene que:
:<math>-2\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)\sin\Bigg(\frac{h}{2}\Bigg)</math>
:y utilizando el límite conocido: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1</math>
: Se obtiene que el primer término es 0, entonces
* <math>\sin'x=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}</math>
* Como:
: <math>\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h}{h}=1</math>
* Por ello puede simplificarse, y se tiene que
: <math>\sin'x=\cos x\,</math>
== Notas ==
{{Listaref}}
== Véase también ==
*[[Teorema del seno]]
*[[Arcoseno]]
*[[Coseno]]
*[[Tangente]]
*[[Sinusoide]]
*[[Trigonometría]]
*[[Función matemática]]
*[[Función par]]
*[[Función impar]]
== Enlaces externos ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Seno en ''MathWorld'']
[[Categoría:Funciones trigonométricas]]
[[ar:تابع مثلثي]]
[[ast:Función trigonométrica]]
[[bg:Тригонометрична функция]]
[[bs:Trigonometrijske funkcije]]
[[ca:Funció trigonomètrica]]
[[cs:Goniometrická funkce]]
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[[de:Trigonometrische Funktion]]
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