Diferencia entre revisiones de «Distancia»
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La '''distancia''' expresa la proximidad o lejanía entre dos objetos, o el intervalo de tiempo que transcurre entre dos sucesos. También se emplea como expresión para indicar una relación de alejamiento afectivo entre dos personas: el desafecto.
[[Archivo:Manhattan distance.svg|thumb|right|Plano de Manhattan. La distancia euclidiana (segmento verde), no se corresponde con el «camino más corto» ente dos puntos de dicha ciudad, además de no ser único.]]
dos puntos del [[espacio euclídeo]] equivale a la [[longitud]] del [[segmento]] de [[recta]] que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la [[geometría no euclidiana]], el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva.▼
[[Archivo:ortodroma.svg|thumb|La menor distancia entre dos puntos recorrida sobre la superficie de una esfera es un arco de círculo máximo: la [[ortodrómica]].]]
▲En [[matemática]], la distancia entre dos puntos del [[espacio euclídeo]] equivale a la [[longitud]] del [[segmento]] de [[recta]] que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la [[geometría no euclidiana]], el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva.
En [[física]], la distancia es una [[magnitud física|magnitud]] [[escalar]], que se expresa en [[unidades de longitud]] o tiempo.
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Se denomina [[distancia euclídea]] entre dos [[punto (geometría)|punto]]s <math>A(x_1, y_1)</math> y <math>B(x_2, y_2 )</math> del plano a la longitud del [[segmento]] de [[recta]] que tiene por extremos <math>A</math> y <math>B</math>. Puede calcularse así:
:<math>d=\sqrt{(
La distancia entre un punto <math>P</math> y una recta <math>R</math> es la longitud del segmento de recta que es perpendicular a la recta <math>R: Ax + By + C = 0 </math> y la une al punto <math>P(x_1, y_1)</math>. Puede calcularse así:
:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}</math>
donde |·| denota valor absoluto.
La distancia entre dos [[Paralelismo|rectas paralela]]s es la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une.
La distancia entre un punto <math>P</math> y un [[plano (geometría)|plano]] <math>L</math> es la longitud del segmento de recta perpendicular al plano <math>L : Ax + By + Cz + D = 0</math> que lo une al punto P (x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>,z<sub>1</sub>) y puede calcularse así:
:<math>d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>
== Definición formal ==
Desde un punto de vista formal, para un [[conjunto]] de elementos <math>X</math> se define '''distancia''' o '''métrica''' como cualquier [[función matemática|función]] [[binaria]] <math>d(a,b)</math> de <math>X \times X</math> en <math>\mathbb{R}</math> que verifique las siguientes condiciones:
* No negatividad: <math>d(a,b)\ge 0 \ \forall a,b \in X</math>
* [[Simetría]]: <math>d(a,b)=d(b,a) \ \forall a,b \in X</math>
* [[Desigualdad triangular]]: <math>d(a,b) \le d (a,c) + d (c,b) \ \forall a,b,c \in X</math>
* <math>\forall x \in X : d(x,x)=0</math>.
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=== Distancia entre dos conjuntos ===
Si <math>(X,d)</math> es un espacio métrico, <math>A \subset X</math> y <math>B \subset X</math>, <math>A \ne \varnothing</math>, <math>B \ne \varnothing</math>, podemos definir la distancia entre los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> de la siguiente manera: <math>d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}</math>.
Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además <math>d(A,A)=0</math>, pero puede ocurrir que <math>d(A,B)=0</math> y sin embargo <math>A \ne B</math>. Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas. Por ejemplo, el conjunto <math>A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}</math> y el conjunto <math>B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}</math>. Por un lado, <math>A=cl(A)</math>, <math>B=cl(B)</math> y <math>A \cap B = \varnothing</math>, y por otro <math>d(A,B)=1</math>.
La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclídea.
== Véase también ==
*[[Distancia de Mahalanobis]]
[[Categoría:Geometría]]
[[Categoría:Topología]]
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