Diferencia entre revisiones de «Variable aleatoria»
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En gran número de [[experimento aleatorio|experimentos aleatorios]] es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los [[Evento estadístico#Evento o suceso elemental|resultados posibles]] del experimento. De este modo se establece una [[función|relación funcional]] entre elementos del [[espacio muestral]] asociado al
Formalmente se dice que una '''variable aleatoria''' (v.a.) ''X'' es una función real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, Ω.<ref>http://www.hrc.es/bioest/estadis_21.html Definición de variable aleatoria</ref><ref>Una definición más rigurosa de variable aleatoria exige dotar a <math>\mathbb R</math> de estructura de [[espacio probabilístico]] e imponer a X la condición de ser [[función medible]] (véase la [[#Definición formal|definición formal]], en este mismo artículo).</ref>
:<math>X:\Omega\to \mathbb R </math>
Se llama '''rango''' de una v.a. ''X'' y lo denotaremos R<sub>X</sub>, al conjunto de los valores reales que esta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el [[Función_matemática#Rango|recorrido]] de la función por la que esta queda definida:
:<math>R_X = \{x\in\mathbb R / \exists \, \omega\in \Omega : X(\omega) = x \}</math>
== Ejemplo ==
Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
:Ω = {cc, cs, sc, ss},
donde (c representa "sale cara" y s, "sale sello").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
:<math>X:\Omega\to \mathbb R </math>
dada por
:<math> cc \to 2 </math>
:<math> cs, sc \to 1 </math>
:<math> ss \to 0 </math>
El recorrido o rango de esta función, R<sub>X</sub>, es el conjunto
:<math>R_X</math> = {0, 1, 2}
== Tipos de variables aleatorias ==
Para comprender de una manera mas amplia y rigurosa los tipos de variables, es necesario conocer la definición de '''conjunto discreto'''. Un conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente.<ref>Véase [[conjunto finito]] para una definición más rigurosa</ref>
*'''Variable aleatoria discreta''': una v.a. es discreta si su recorrido es un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta. Sus probabilidades se recogen en la [[función de cuantía]] (véanse las [[Distribución de probabilidad#Distribuciones de variable discreta|distribuciones de variable discreta]]).
*'''Variable aleatoria continua''': una v.a. es continua si su recorrido no es un [[conjunto numerable]]. Intuitivamente esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la [[estatura]] a una persona extraída de una determinada población es una variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos por caso, 0 y 2,50 m, es posible.<ref>En experimentos reales la continuidad de una variable es rarísima, ya que la excasa precisión de los instrumentos de medida obliga a un conjunto discreto de valores posibles.</ref> (véanse las [[Distribución de probabilidad#Distribuciones de variable continua|distribuciones de variable continua]])
==Distribución de probabilidad de una v.a.==
{{AP|Distribución de probabilidad}}
La '''distribución de probabilidad''' de una v.a. X, también llamada '''función de distribución''' de X es la [[función matemática|función]] <math>F_X(x)</math>, que asigna a cada evento definido sobre <math>X</math> una [[probabilidad]] dada por la siguiente expresión:
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