Diferencia entre revisiones de «Mediana (estadística)»
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{{otros usos|mediana}}
En [[Estadística]], una '''mediana''' es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el [[percentil]] 50, con el segundo [[cuartil]] y con el quinto [[decil]].
== Cálculo ==
Existen 2 estrategias para calcular la mediana: Considerando los datos tal cual, sin agruparlos, o bien cuando los tenemos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.
=== Datos sin agrupar ===
Considerando <math>x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n</math> los datos de una muestra ''ordenada en orden creciente'' y designando la mediana como <math>M_e</math>, distinguimos dos casos:
a) Si ''n es impar'', la mediana es el valor que ocupa la posición <math>{\frac {n+1} {2}}</math> una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: <math>M_e=x_{\frac {n+1} {2}}</math>.
Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: <math>x_1 = 3</math>, <math>x_2 = 6</math>, <math>x_3 = 7</math>, <math>x_4 = 8</math>, <math>x_5 = 9</math> => El valor central es el tercero: <math>x_{\frac {5+1} {2}} = x_3 = 7</math>. Este valor deja dos datos por debajo (<math>x_1</math>, <math>x_2</math>) y otros dos por encima de él (<math>x_4</math>, <math>x_5</math>).
b) Si ''n es par'', la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando n es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones <math>{\frac {n} {2}}</math> y <math>{\frac {n} {2}}+1</math>. Es decir:
<math>M_e = \frac {x_{\frac {n} {2}} + x_{\frac {n} {2}+1}}{2}</math>.
Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: <math>x_1 = 3</math>, <math>x_2 = 6</math>, <math>x_3 = 7</math>, <math>x_4 = 8</math>, <math>x_5 = 9</math>, <math>x_6 = 10</math> => Hay dos valores que están por debajo del <math>x_{\frac {6} {2}} = x_3 = 7</math> y otros dos que quedan por encima del siguiente dato <math>x_{{\frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8</math>. Por tanto, cabe considerar la mediana como la media aritmética de estos dos datos: <math>M_e = \frac {x_3 + x_4}{2} = \frac {7 + 8} {2}=7,5</math>.
=== Datos agrupados ===
Al tratar con datos agrupados, si <math> {{\frac {n} {2}}} </math> coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente.
Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:
[[Archivo:davicrege3.JPG]]
Dónde <math>N_{i}</math> y <math>N_{i-1}</math> son las frecuencias absolutas tales que <math>N_{i-1} < {{\frac {n} {2}}} < N_{i}</math>, <math>a_{i-1}</math> y <math>a_{i}</math> son los
extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y <math>M_e=a_{i-1}</math> es la abscisa a calcular, la moda.
Se observa que <math>a_{i} - a_{i-1}</math> es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.
== Ejemplos ==
=== Ejemplo ( "N" impar ) ===
{| border="1" cellpadding="2" align=right
! xi !! align="right" | fi !! align="center" | Ni
|-
! 1 !! align="right" | 2 !! align"right" | 2
|-
! 2 !! align="right" | 2 !! align"right" | 4
|-
! 3 !! align="right" | 4 !! align"right" | 8
|-
! 4 !! align="right" | 5 !! align"right" | 13
|-
! 5 !! align="right" | 8 !! align"right" | 21 > 19.5
|-
! 6 !! align="right" | 9 !! align"right" | 30
|-
! 7 !! align="right" | 3 !! align"right" | 33
|-
! 8 !! align="right" | 4 !! align"right" | 37
|-
! 9 !! align="right" | 2 !! align"center" | 39
|}
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 39 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
{| border="1" cellpadding="2" align=center
! Calificaciones !! align="right" | 1 !! align="right" | 2 !! align="right" | 3 !! align="right" | 4 !! align="right" | 5 !! align="right" | 6 !! align="right" | 7 !! align="right" | 8 !! align="right" | 9
|-
! align="right" | Número de alumnos
| align="right" | 2 || align="right" | 2 || align="right" | 4 ||align="right" | 5 || align="right" | 8 || align="right" | 9 ||align="right" | 3 || align="right" | 4 || align="right" | 2
|}
Primero se halla las frecuencias absolutas acumuladas <math>N_i</math>. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n impar, se obtiene <math>X (39+1) / 2 = X 20 </math>.
*Ni-1< n/2 < Ni = N19 < 19.5 < N20
Por tanto la mediana será el valor de la variable que ocupe el vigésimo lugar.En este ejemplo, 21 (frecuencia absoluta acumulada para Xi = 5) > 19.5 con lo que Me = 5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5 o menos, y la otra mitad un 5 o más.
=== Ejemplo ( "Numero" par ) ===
Las calificaciones en la asignatura de Matemáticas de 38 alumnos de una clase viene dada por la siguiente tabla (debajo):
{| border="1" cellpadding="2" align=center
! Calificaciones !! align="right" | 1 !! align="right" | 2 !! align="right" | 3 !! align="right" | 4 !! align="right" | 5 !! align="right" | 6 !! align="right" | 7 !! align="right" | 8 !! align="right" | 9
|-
! align="right" | Número de alumnos
| align="right" | 2 || align="right" | 2 || align="right" | 4 ||align="right" | 5 || align="right" | 6 || align="right" | 9 ||align="right" | 4 || align="right" | 4 || align="right" | 2
|}
{| border="1" cellpadding="2" align=right
! xi !! align="right" | fi !! align="center" | Ni+w
|-
! 1 !! align="right" | 2 !! align"right" | 2
|-
! 2 !! align="right" | 2 !! align"right" | 4
|-
! 3 !! align="right" | 4 !! align"right" | 8
|-
! 4 !! align="right" | 5 !! align"right" | 13
|-
! 5 !! align="right" | 6 !! align"right" | 19 = 19
|-
! 6 !! align="right" | 9 !! align"right" | 28
|-
! 7 !! align="right" | 4 !! align"right" | 32
|-
! 8 !! align="right" | 4 !! align"right" | 36
|-
! 9 !! align="right" | 2 !! align"right" | 38
|}
Primero se hallan las frecuencias absolutas acumuladas <math>N_i</math>. <math>N_i</math>. Así, aplicando la formula asociada a la mediana para n par, se obtiene <math>X (38 / 2) = X 19</math>.
*Ni-1< n/2 < Ni = N18 < 19 < N19
Con lo cual la mediana será la media aritmética de los valores de la variable que ocupen el decimonoveno y el vigésimo lugar. En el ejemplo el lugar decimonoveno lo ocupa el 5 y el vigésimo el 6 con lo que Me = (5+6)/2 = 5,5 puntos, la mitad de la clase ha obtenido un 5,5 o menos y la otra mitad un 5,5 o más
==== Ejemplo ====
Entre 1.80 y 1.70 hay 3 estudiantes.<br />
Entre 1.79 y 1.60 hay 5 estudiantes.<br />
Entre 1.60 y 1.50 hay 2 estudiantes..<br />
:<math>Mediana= 1.60 + \left( \frac{(10/2)-2}{5} \right)0.1=1.66</math>
===== Ahora mostramos el calculo de forma general =====
{| class="wikitable" align=center
!x<sub>i</sub>!!f<sub>i</sub>!!N<sub>i</sub>
|-
|[x<sub>1</sub><sub>1</sub>-x<sub>1</sub><sub>2</sub>]||<center>f<sub>1</sub><sub></center>||<center>N<sub>1</sub><sub></center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>.</center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>.</center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>N<sub>(i-2)</sub></center>
|-
|[x<sub>(i-1)</sub><sub>1</sub>-x<sub>(i-1)</sub><sub>2</sub>]||<center>f<sub>(i-1)</sub></center>||<center>f<sub>(i-1)</sub>-N<sub>(i-2)</sub>=N<sub>(i-1)</sub></center>
|-
|[x<sub>i</sub><sub>1</sub>-x<sub>i</sub><sub>2</sub>]||<center>f<sub>i</sub></center>||<center>f<sub>i</sub>-N<sub>i-1</sub>=N<sub>i</sub></center>
|-
|[x<sub>(i+1)</sub><sub>1</sub>-x<sub>(i+1)</sub><sub>2</sub>]||<center>f<sub>(i+1)</sub></center>||<center>f<sub>(i+1)</sub>-N<sub>i</sub>=N<sub>(i+1)</sub></center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>.</center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>.</center>
|-
|<center>.</center>||<center>.</center>||<center>.</center>
|-
||[x<sub>M</sub><sub>1</sub>-x<sub>M</sub><sub>2</sub>]||<center>f<sub>M</sub></center>||<center>f<sub>M</sub>-N<sub>(M-1)</sub>=N<sub>M</sub></center>
|}
====== Consideramos ======
- x<sub>1</sub><sub>1</sub> valor mínimo<br />
- x<sub>M</sub><sub>2</sub> valor máximo<br />
- [x<sub>i</sub><sub>1</sub>-x<sub>i</sub><sub>2</sub>] primer intervalo situado por encima de <math>( \cfrac{N_M}{2} )</math><br />
Entonces:
:<math>Mediana= x_{i1} + \left( \cfrac{(N_M/2)-N_{i-1}}{f_i} \right).(x_{i2}-x_{i1})</math>
=== Método proyectivo ===
Con base en el [[método proyectivo]], se puede obtener la mediana para datos agrupados de la siguiente forma:
1. Tomar el número total de frecuencias y dividirlo entre dos.<br />
2. Restar a ese número el total de frecuencias de las clases anteriores a la clase mediana.<br />
3. Usar el número obtenido para hacer un cambio de escalas entre las frecuencias de la clase mediana y sus rangos para obtener la distancia parcial<br />
4. Sumamos la distancia parcial obtenida a el límite inferior de la clase.<br />
Usando el ejemplo anterior:<br />
[[Archivo:desarrollomediana.jpg]]
1. El número total de frecuencias es de; (3+5+2)/2 = 10/2 = 5<br />
2. El total de frecuencias anteriores es 2; (5 - 2) = 3<br />
3. Hacemos el cambio de escalas:<br />
:<math>\ 3:5::x:0.10 </math>
Resolviendo:<br />
:<math>\ x= \frac{(0.10)(3)}{5}=0.06 </math> la mediana es la suma de todos los datos dividido entre el numero de datos
4. Se suma la distancia parcial al límite inferior:<br />
:<math>\ Mediana = 0.06 + 1.60 = 1.66 </math>
== Véase también ==
*[[Desviación estándar]]
*[[Frecuencia]]
*[[Moda (estadística)]]
*[[Parámetro estadístico]]
*[[Promedio]]
*[[Valor esperado]]
[[Categoría:Estadística descriptiva]]
[[Categoría:Medias]]
[[ar:وسيط (إحصاء)]]
[[bg:Медиана (статистика)]]
[[ca:Mediana]]
[[cs:Medián]]
[[da:Median]]
[[de:Median]]
[[en:Median]]
[[eo:Mediano (statistiko)]]
[[et:Mediaan]]
[[eu:Mediana]]
[[fa:میانه (آمار)]]
[[fi:Mediaani]]
[[fr:Médiane (centre)]]
[[gl:Mediana]]
[[he:חציון]]
[[hr:Medijan]]
[[hu:Medián]]
[[is:Miðgildi]]
[[it:Mediana (statistica)]]
[[ja:中央値]]
[[ko:중앙값]]
[[lt:Mediana]]
[[nl:Mediaan (statistiek)]]
[[no:Median]]
[[pl:Mediana]]
[[pt:Mediana (estatística)]]
[[ru:Медиана (статистика)]]
[[scn:Mediana]]
[[simple:Median]]
[[sk:Medián]]
[[sl:Mediana]]
[[sq:Mediana (statistikë)]]
[[sr:Медијана (статистика)]]
[[su:Median]]
[[sv:Median]]
[[ta:இடைநிலையளவு]]
[[tg:Медиана]]
[[th:มัธยฐาน]]
[[tr:Medyan]]
[[uk:Медіана (статистика)]]
[[vi:Số trung vị]]
[[zh:中位數]]
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