Diferencia entre revisiones de «Divisibilidad»
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Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los [[número]]s que no admiten más que estos dos divisores se denominan [[número primo|números primos]]. Los que admiten más de dos divisores se llaman [[número compuesto|números compuestos]]
== Propiedades ==
Sean <math>a, b, c \in \mathbb{Z}</math>, es decir <math>\ a</math>, <math>\ b</math> y <math>\ c</math> son [[número entero|números enteros]]. Tenemos las siguientes propiedades básicas:
#<math>a\mid a</math> (Propiedad Refleja).
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>a\mid c</math> (Propiedad Transitiva).
#Si <math>a\mid b</math> , entonces <math>|a|\leq |b|</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid c</math>, entonces <math>a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>a\mid b \pm\ c</math>, entonces <math>a\mid c</math>
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\mid a</math>, entonces <math>\ |a|=|b|</math>.
#Si <math>a\mid b</math> y <math>b\neq 0</math>, entonces <math>\frac{b}{a}\mid b</math>.
#Para <math>c\neq 0</math>, <math>a\mid b</math> si y sólo si <math>ac\mid bc</math>
#Si <math>a\mid bc</math> y [[Máximo común divisor|<math>\ mcd(a,b)=1</math>]], entonces <math>a\mid c</math>.
#Si <math>\ mcd(a,b)=1</math> y <math>\ c</math> cumple que <math>a\mid c</math> y <math>b\mid c</math>, entonces <math>ab\mid c</math>.
Como <math>0=0\cdot n</math> y <math>n=n\cdot 1</math> se tiene que <math>n\mid 0</math> y <math>1\mid n</math> para todo <math>\ n</math> entero. Si <math>\ m</math> no es divisible por <math>\ n</math> escribimos <math>n\nmid m</math>. Notemos que <math>0\nmid m</math> para todo <math>\ m</math> distinto de cero, pues <math>m\neq 0=k\cdot 0</math> para todo <math>\ k</math> entero.
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== Criterios de divisibilidad ==
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|'''[[Once|11]]'''
|Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es
Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.
|42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11
44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
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|'''[[Doce|12]]'''
|El número es divisible por 3 y 4.
|528: Ver criterios anteriores.
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|rowspan=2|'''[[Trece|13]]'''
|Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es.
|364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13.
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|Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es múltiplo de 13, el número original también lo es.
|432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13.
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|'''[[Catorce|14]]'''
|El número es divisible por 2 y por 7.
|224: Ver criterios anteriores
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|'''[[Quince|15]]'''
|El número es divisible por 3 y por 5.
|255: Ver criterios anteriores
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|'''[[Dieciséis|16]]'''
|El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16.
|254176: porque 4176 es múltiplo de 16.
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|'''[[Diecisiete|17]]'''
|Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra multiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17.
|493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
Línea 92 ⟶ 142:
|El número es divisible por 2 y por 13.
|234: Ver criterios anteriores
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|'''[[Veintiocho|28]]'''
|El número es divisible por 4 y por 7.
|336: Ver criterios anteriores
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|'''[[Treinta|30]]'''
|El número acaba en cero y la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
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