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== Introducción geométrica a las derivadas ==
Es importante entender qué es una [[función matemática]] para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables <math>x\,</math> e <math>y\,</math> puede entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de <math>x\,</math> le corresponda uno y solamente un valor de <math>y\,</math>. Notar que dos '''valores diferentes''' de <math>x\,</math> pueden apuntar a un mismo valor de <math>y\,</math> sin contradecir la definición dada de función. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas <math>(x,y)\,</math>, donde <math>y\,</math> es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número <math>x\,</math>. Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un [[plano cartesiano]] de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.
Por ejemplo, dada la función <math>y=\frac x{x^2+1}</math>, las parejas se obtienen dando valores al azararbitrarios a <math>x\,</math> y calculando <math>y\,</math> como se muestra en la siguiente tabla:
<div class="thumb">
[[Imagen:Función 100.svg|350px]]
|-
| <math>y = \frac x{x^2+1} ; \; y' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} ; f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}</math>
|}
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|}</div>
En esta tabla se obtienen valores para puntos <math>(x,y)\,</math> que pueden ser graficados en un plano cartesiano con ejes <math>x\,</math> e <math>y\,</math>. En lenguaje matemático lalas palabra '''"función"'''funciones se expresadenotan sustituyendo la variable <math>y\,</math> por la expresión <math>f(x)\,</math> e indicando así que <math>f(x)\,</math> es una función, en este caso, de la variable <math>x\,</math>. EnEs lenguaje coloquial <math>f(x)\decir,</math> seindica leeque "'''efela devariable equis'''".será, Asíen pueseste la función anteriorcaso, <math>yx\,</math>. La función anterior tendría el aspecto
: <math>f(x)=\frac x{x^2+1}</math>
y del mismo modo, las coordenadas <math>(x,y)\,</math> de los puntos en el plano cartesiano tendrían el aspecto <math>(x,f(x))\,</math> puesto que la coordenada <math>y\,</math> viene de calcular <math>f(x)\,</math>.
Se suele imaginar la derivada en un punto <math>x</math> para la función <math>f(x)\,</math> como la pendiente (inclinación) que existe en el punto <math>(x,f(x))\,</math>. En la gráfica de una función, la pendiente representa la rapidez con que cambia dicha función: si la pendiente es muy grande, entonces la función en este punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función crece muy despacio en ese punto. En términos geométricos, esta pendiente es "la inclinación" de una línea recta que toca el punto en el que se evalúa la derivada de la función. Esta inclinación (un valor numérico) depende de la forma que tiene la función en esa zona del gráfico que la representa en el plano cartesiano.
Derivar una función no es en absoluto complicado si se sabensabe utilizar las reglas de derivación desarrolladasdescubiertas por [[Gottfried Leibniz]] e [[Isaac Newton]]. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. Se puede comparar el proceso que lleva a una regla de derivación al proceso utilizado para obtener la famosa solución que resuelve las ecuaciones de segundo grado de forma automática, y que está descrito en la mayoría de libros de texto. Se requiere un poco de práctica para aplicar correctamente la reglas de derivación sin caer en errores elementales. ▼'''La derivada de una función.'''
La derivada de una función '''es otra función''' que se obtiene mediante las bien definidas reglas de derivación, es decir, de forma completamente mecánica.
La nueva gráfica del plano cartesiano definida por esta '''nueva función''' (''la derivada'') y obtenida de una '''función original''', representa la velocidad con que la función original crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene definida por la ''pendiente'' del punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la grafica no puede apreciarse ''pendiente'' alguna, pero al dibujar varios puntos (a partir de la función derivada) lo más contiguos posibles, y unirlos mediante una línea, la idea de pendiente queda visualizada.
En la gráfica de una '''función derivada''', la ''pendiente'' representa la rapidez con que cambia la '''función original''' en cada punto: si la pendiente es muy grande, entonces la función en este punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función crece muy despacio en ese punto. Esto significa que con un valor determinado de la variable <math>x\,</math> para la '''función original''': <math>f(x)\,</math>, ese mismo valor de <math>x\,</math> en su '''función derivada''': <math>f'(x)\,</math> representa el valor de crecimiento o decrecimiento de la '''función original''': <math>f(x)\,</math> en ese punto definido por <math>x\,</math>.
El ''palito'' detrás de la letra <math>f\,</math> en la expresión: <math>f'(x)\,</math> indica que
nos estamos refiriendo a la función derivada de la '''función original''': <math>f(x)\,</math>.
En términos geométricos, esta pendiente es "''la inclinación''" de la '''línea recta''' que pasa justo por encima del '''punto que evalúa la derivada para un valor de''' <math>f'(x)\,</math>. La '''línea recta''' anterior podemos dibujarla sobre el plano cartesiano que contiene la gráfica de la función sobre un punto determinado de la gráfica para representarla. Esta '''línea recta que pasa justo por encima del punto''' tiene la ''inclinación'' guiada por los puntos mas contiguos '''tambien obtenidos por la función derivada''' <math>f'(x)\,</math>.
No hay que olvidar que la ''inclinación'' de la ''pendiente'' en cada punto de la gráfica viene determinada por '''los valores numéricos''' obtenidos a traves de la '''función derivada''' <math>f'(x)\,</math>. Estos '''valores numéricos''' son los que nos permitiran representar geométricamente la ''inclinación'' de la ''pendiente''. Al darle muchos valores al azar a la variable <math>x\,</math>, conseguimos que la '''función derivada''': <math>f'(x)\,</math> nos vaya devolviendo los puntos que representan dicha linea recta, con su correspondiente pendiente para ese punto.
▲Derivar una función no es en absoluto complicado si se saben utilizar las reglas de derivación desarrolladas por [[Gottfried Leibniz]] e [[Isaac Newton]]. Dichas reglas son fruto de un concienzudo esfuerzo puramente lógico. Se puede comparar el proceso que lleva a una regla de derivación al proceso utilizado para obtener la famosa solución que resuelve las ecuaciones de segundo grado de forma automática, y que está descrito en la mayoría de libros de texto. Se requiere un poco de práctica para aplicar correctamente la reglas de derivación sin caer en errores elementales.
'''Otra forma de expresar estas ideas en un lenguaje matemático más formal y directa es esta :'''
Utilizando las reglas de derivación sobre una función, se obtiene otra función llamada ''derivada'', o bien ''primera derivada''. Si se denota por <math>f(x)\,</math> a una función y <math>g(x)\,</math> a la función que resulta de derivar <math>f(x)\,</math>, entonces <math>g(a)\,</math> representa la pendiente que existe en el punto geométrico <math>(a,f(a))\,</math>. La función <math>g(x)\,</math> representa la pendiente que posee la recta tangente a cualquier punto de la función, siendo éstos de la forma <math>(x,f(x))\,</math>.
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Editado por fjrodrig, el 6 de septiembre de 2009.
== Condiciones de continuidad de una función ==
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