Diferencia entre revisiones de «Matemáticas»
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[[Archivo:Euclid.jpg|thumb|[[Euclides]], matemático griego, del siglo III aC, tal como fue imaginado por [[Rafael]]. Detalle de ''[[La Escuela de Atenas]]''.<ref> En la antigüedad nadie hizo un retrato o una descripción de la apariencia física de Euclides mientras estaba vivo. Por lo tanto, la representación de Euclides en las obras de arte varía en función de la imaginación de cada artista (véase ''[[Euclides]]'').</ref>]]
Las '''matemáticas''' o la '''matemática''' (del [[latín|lat.]] ''mathematĭca'', y éste del [[idioma griego|gr.]] τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, [[conocimiento]]) es una ciencia que, a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones de los entes abstractos ([[números]], [[figura geométrica|figuras geométricas]], [[símbolos]]).<ref>[http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?LEMA=matemática ''Real Academia Española'': "Diccionario de la lengua española - Vigésima segunda edición"]</ref> Mediante las matemáticas conocemos las [[cantidad]]es, las [[estructura]]s, el [[espacio]] y los [[cálculo|cambios]]. Los [[matemático]]s buscan patrones,<ref>[[Lynn Steen|Steen, LA]] (29 de abril de 1988). ''Mathematics:The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994)'' [[Science]], 240: 611-616.</ref><ref>{{cita libro |apellidos= |nombre= |autor= Keith Devlin |enlaceautor= Keith Devlin |coautores= |editor= |otros= |título= ''Matemáticas: La ciencia de los patrones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y el Universo''|url= |formato= |fechaacceso= |añoacceso= |mesacceso= |edición= |volumen= |fecha= |año= 1996|mes= |editorial= Scientific American|ubicación= |idioma= |isbn= 9780716750475|id= |páginas= |capítulo= |urlcapítulo= |cita= }} </ref> formulan nuevas [[conjetura]]s e intentan alcanzar la [[verdad|verdad matemática]] mediante [[rigor|rigurosas]] [[razonamiento deductivo|deducciones]], estas les permiten establecer los [[axioma]]s y las [[definición|definiciones]] apropiados para dicho fin. <ref>Jourdain</ref>
Existe cierto debate sobre si los objetos matemáticos como los números y [[Punto (geometría)|puntos]] realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático [[Benjamin Peirce]] definió a las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias".<ref>Peirce, p.97</ref> Por otro lado, [[Albert Einstein]] declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".<ref >Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? [http://www.epsilones.com/paginas/t-definiendo.html]"</ref>
Mediante la [[abstracción (matemáticas)|abstracción]] y el uso de la [[lógica]] en el [[razonamiento]], las matemáticas han evolucionado basándose en las [[cuenta]]s, el [[cálculo]], las [[medición|mediciones]] junto con el estudio sistemático de la [[forma]] y el [[movimiento (física)|movimiento]] de los objetos físicos. Las matemáticas desde sus comienzos han tenido un fin práctico (véase: [[Historia de la matemática]]). Las explicaciones que se apoyaban en la [[lógica]] aparecieron por primera vez con la [[matemática helénica]], especialmente con los [[Elementos de Euclides]]. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el [[Renacimiento]] las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las [[ciencias naturales]], la [[ingeniería]], la [[medicina]] y las [[ciencias sociales]]. Las [[matemáticas aplicadas]], rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspira y hace uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conduce al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las [[matemáticas puras]], sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.<ref>Peterson</ref>
== Etimología ==
La palabra '''"matemática"''' (griego: μαθηματικά) «lo que se aprende» viene del griego antiguo μάθημα (''máthēma''), que quiere decir «campo de estudio o instrucción».
El significado se contrapone a μουική (''musiké'') «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).<ref name="Heath">
{{cita libro
| apellidos = Heath
| nombre = Thomas
| título = A History of Greek Mathematics. Vol. 1.
| año = 1921
| editorial = Oxford, Clarendon Press
| id = {{OCLC|2014918}}
}}</ref> Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de [[Aristóteles]] (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (''mathēmatikós''), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (''mathēmatikḗ tékhnē''; en latín ''ars mathematica''), significa "el arte matemática".
La forma plural ''matemáticas'' viene de la forma latina ''[[:la:mathematica|mathematica]]'' ([[Marco Tulio Cicerón|Cicerón]]), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (''ta mathēmatiká''), usada por [[Aristóteles]] y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".
== Historia ==
{{AP|Historia de la matemática}}
<div style="float:right; margin-left:15px">
{| class="wikitable"
|+ '''Instrumentos para<br />cálculos matemáticos'''
|-
| '''Antiguos''' <br /> [[Ábaco]] <br /> [[Ábaco de Napier]] <br /> [[Regla de cálculo]] <br /> [[Regla y compás]] <br /> [[Cálculo mental]]
|-
| '''Nuevos''' <br /> [[Calculadora]]s <br /> [[Ordenadores]]: <br /> ''([[Lenguajes de programación]] <br /> [[software]] especializado)''
|}
</div>
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de [[abstracción (matemáticas)|abstracción]] del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales<ref> S. Dehaene, Dehaene-Lambertz G. y L. Cohen, Resumen de los números de las representaciones en el cerebro humano y animal,''Tendencias en Neurociencias'', vol. 21 (8), agosto de 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236 (98) 01263-6.</ref>, fueron probablemente los [[número]]s. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la [[historia]], las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos para: controlar los [[impuesto]]s y el [[comercio]], comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los [[astronomía|eventos astronómicos]]. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la [[ciencia]], en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan hallando en la actualidad.
Además de saber [[cuenta|contar]] los objetos físicos, los [[Prehistoria|hombres prehistóricos]] también sabían cómo contar ''cantidades abstractas'' como el [[tiempo]] ([[día]]s, [[estación|estaciones]], [[año]]s, etc.) Asimismo empezaron a dominar la [[aritmética]] elemental ([[suma]], [[resta]], [[multiplicación]] y [[división]]).
[[Archivo: Quipu.png | thumb | left | Un [[quipu]], utilizado por los [[Imperio inca|Incas]] para registrar los números.]]
Los siguientes avances requirieron la [[escritura]] o algún otro sistema para registrar los números, tales como los [[Tally|tallies]] o las cuerdas anudadas —denominadas [[quipu]] —, que eran utilizadas por los [[Inca]]s para almacenar datos numéricos. Los [[sistema de numeración|sistemas de numeración]] han sido muchos y diversos. Los primeros escritos conocidos que contienen números fueron creados por los [[Antiguo Egipto|egicios]] en el [[Imperio Medio de Egipto|Imperio Medio]], entre ellos se encuentra el [[Papiro de Ahmes]]. La [[Cultura del valle del Indo]] desarrolló el moderno [[sistema decimal]], junto con el concepto de [[cero]].
Los antiguos babilonios utilizaban el [[sistema sexagesimal]], escala matemática que tiene por [[base]] el número [[sesenta]]. De este sistema la humanidad heredó la división actual del [[tiempo]]: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno -, la [[hora]] en sesenta minutos y el [[minuto]] en sesenta segundos. Los árabes proporcionaron a la cultura europea su [[sistema de numeración]], que reemplazó a la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en [[Europa]] antes de que el matemático [[Leonardo Fibonacci]] lo introdujera en [[1202]] en su obra [[Liber abbaci]] (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la [[Edad Media]] habían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la [[ciencia]].
[[Archivo:Maya.svg|thumb|right|175px|Los números mayas del 0 al 19.]]
Los [[civilización maya|mayas]] desarrollaron una avanzada [[civilización precolombina]], con avances notables en la matemática, empleando el concepto del [[cero]], y en la astronomía, calculando con bastante precisión los ciclos celestes.
[[Euclides]] ([[siglo IV a. C.|siglo IV a. C.]]) fue el matemático más relevante de la [[Antigüedad]]. Es muy conocido por una compilación de sus conocimientos de [[geometría]], voz griega que significa ''medida de la tierra''.
[[Tales de Mileto]] ([[siglo VI a. C.|siglo VI a. C.]]), conocido principalmente por su obra matemática y por la creencia de que el agua era la esencia de toda materia, estudió con espíritu crítico la estructura cósmica, lo que, según explica [[The New Encyclopædia Britannica]], tuvo un efecto ''decisivo en el progreso del pensamiento científico''.
=== Influencia en la astronomía moderna ===
El [[astronomía|astrónomo]] [[Tycho Brahe]] anotó minuciosamente durante largo tiempo observaciones planetarias. Cuando leyó ''El misterio cosmográfico'', quedó impresionado con la percepción matemática y astronómica de [[Kepler]] y le invitó a trabajar con él en [[Benatky]], localidad cercana a [[Praga]]. Al verse obligado a tener que abandonar [[Graz]] debido a la intolerancia religiosa, Kepler aceptó la invitación. Al fallecer Brahe, Kepler le sucedió como matemático imperial de [[Rodolfo II]] y analizó las medidas sobre la posición de los planetas. Las medidas del movimiento de [[Marte (planeta)|Marte]], en particular de su [[retrogradación de los planetas|movimiento retrógrado]], fueron esenciales para que pudiera formular las tres [[leyes de Kepler]] sobre el movimiento de los planetas. Posteriormente, estas leyes sirvieron de base a la [[ley de gravitación universal]] de [[Isaac Newton|Newton]].
=== Crisis históricas ===
La matemática ha pasado por tres crisis históricas importantes:<ref>''El dedo de Galileo''. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003</ref>
# El descubrimiento de la [[inconmensurabilidad]] por los [[Antigua Grecia|griegos]], la existencia de los [[número irracional|números irracionales]] que de alguna forma debilitó la filosofía de los [[pitagóricos]].
# La aparición del [[Cálculo matemático|cálculo]] en el [[siglo XVII]], con el temor de que fuera ilegítimo manejar [[infinitesimal]]es.
# El hallazgo de las [[antinomia]]s, como la de [[paradoja de Russell|Russell]] o la [[paradoja de Berry]] a comienzos del [[siglo XX]], que atacaban los mismos cimientos de la materia.
=== Grandes Matemáticos de la historia ===
'''[[Pitágoras]]''': (582-500 a.C.). Fundador de la escuela Pitagórica, cuyos principios se regian por el amor a la sabiduria, a las matemáticas y música.
Inventor del [[Teorema de Pitágoras]], que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Además del teorea anteriormente mencionado, también invento una tabla de multiplicar.
'''[[Tales de Mileto]]''': (hacia el 600 a.C.). Matemático- Geomatra griego. Considerado uno de los siete sabios de Grecia.
Inventor del [[Teorema de Tales]], que establece, que si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
'''[[Euclides]]''': (aproximadamente 365-300 a.C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría", esta considerada como el texto matemático más importante de la historia.
Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
'''[[Arquímedes]]''': (287-212 a.C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontre".
Su mayor logro, fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el [[Principio de Arquímedes]], que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
'''Fibonacci''': (1170-1240). Matemático italiano que realizo importantisimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.
Inventor de la [[Sucesión de Fibonacci]], que consiste es una sucesión infinita de números naturales.
'''[[René Descartes]]''': (1596-1650). Matemático francés, que escribio una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía, la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Invento una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.
'''[[Isaac Newton]]''': (1643-1727). Matemático inglés, autor de los [[Philosophiae naturalis principia mathematica]]. Abordó el [[teorema del binomio]], a partir de los trabajos de [[John Wallis]], y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la [[geometría analítica]] desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de [[ecuaciones]].
'''[[Galileo Galilei]]''': (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue, el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en [[Pitágoras]], [[Platón]] y [[Arquímedes]] y fue contrario a [[Aristoteles]].
'''[[Blaise Pascal]]''': (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denomino como Teorema de Pascal y que el mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
'''[[Leonhard Euler]]''': (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del [[cálculo]] y la [[teoría de grafos]]. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del [[análisis matemático]], como por ejemplo la noción de [[función matemática]].
'''[[Paolo Ruffini]]''': (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones,y su más importante logro, invento lo que se conoce como [[Regla de Ruffini]], que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
'''[[Carl Friedrich Gauss]]''': (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el principe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la [[teoría de números]], el [[análisis matemático]], la [[geometría diferencial]]. Fue el primero en probar rigurosamente el [[Teorema Fundamental del Álgebra]]. Invento lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
== La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética ==
{{AP|Belleza matemática}}
[[Archivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|right|thumb|Sir [[Isaac Newton]] ([[1643]]-[[1727]]), comparte con [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] la autoría del desarrollo del [[cálculo|cálculo integral y diferencial]]]]
Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el [[comercio]], en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la [[astronomía]]. Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el [[físico]] [[Richard Feynman]] inventó la [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos]] de la [[mecánica cuántica]], combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la [[teoría de las cuerdas]], una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro [[Interacciones fundamentales|fuerzas fundamentales de la física]], sigue inspirando a las más modernas matemáticas.<ref>{{cita libro |título = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|autor = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|editor= [[Oxford University Press]]|año = 2002}}</ref> Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática ''más pura'' habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que [[Eugene Wigner]] ha definido como ''la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.''<ref>[[Eugene Wigner]], 1960, "[http://www.dartmouth.edu/ ~ MATC / MathDrama / lectura / Wigner.html La eficacia no razonables de las matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales,]''[[Comunicaciones en Matemáticas Puras y Aplicadas]]'''''13'' '(1): 1-14.</ref>
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las [[matemáticas puras]] y las [[matemáticas aplicadas]]. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su [[licenciatura]]. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras areas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la [[estadística]], la [[investigación de operaciones]] o la [[informática]].
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la ''elegancia'' de la matemática, su intrínseca [[estética]] y su [[belleza]] interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la [[simplicidad]]. Hay belleza en una simple y contundente [[Demostración matemática|demostración]], como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos [[número primo|números primos]], y en un elegante [[análisis numérico]] que acelera el cálculo, así como en la [[transformada rápida de Fourier]]. [[G. H. Hardy]] en ''[[A Mathematician's Apology]]'' (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.<ref>{{Cita libro | título = A Mathematician's Apology| autor = Hardy, GH | = editorial Cambridge University Press | año = 1940}}</ref> Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático [[Paul Erdős]] se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas.<ref>{{cita libro|título = Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy| autor = Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers | editor = MAA | año = 2008}}</ref><ref>{{cita libro|título = Proofs from the Book | autor = Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter | editorial Springer = | año = 2001}}</ref> La popularidad de la [[matemática recreativa]] es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.
== Notación, lenguaje y rigor ==
[[Archivo:Leonhard Euler 2.jpg|right|thumb|[[Leonhard Euler]]. Probablemente el más prolífico matemático de todos los tiempos]]
{{AP|Notación matemática}}
La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII.<ref>[http://www.doe.virginia.gov/Div/Winchester/jhhs/math/facts/symbol.html Utilización de diversos símbolos matemáticos] (Véase [[Anexo:Símbolos matemáticos]])</ref> Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, [[Leonhard Euler|Euler]], fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero para los principiantes resulta complicada. La notación reduce las matemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan una gran cantidad de información. Al igual que la [[notación musical]], la notación matemática moderna y tiene una sintaxis estricta y codifica la información que sería difícil de escribir de otra manera.
[[Archivo: Infinity symbol.svg|thumb|left|150px|El símbolo de [[infinito]] en diferentes tipografías.]]
El [[lenguaje]] matemático también puede ser difícil para los principiantes. Palabras tales como ''o'' y ''sólo'' tiene significados más precisos que en lenguaje cotidiano. Además, palabras como ''[[conjunto abierto|abierto]]'' y ''[[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]]'' tienen significados matemático muy concretos. La [[jerga matemática]] incluye términos técnicos como ''[[homeomorfismo]]'' o ''[[integral|integrabilidad]]''. La razón que explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguaje matemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Los matemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el "rigor".
El [[rigor]] es una condición indispensable que debe tener una [[demostración matemática]]. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar [[teorema]]s erroneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia.<ref>Véase ''[[falsa demostración]]'' para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El [[teorema de los cuatro colores]] contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.</ref> El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de [[Isaac Newton]] los métodos empleados eran menos rigurosas. Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisis cuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador.<ref> Ivars Peterson,''La matemática turística'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador no puede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).</ref>
Un [[axioma]] se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En el ámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en el contexto de todas las fórmulas derivadas de un [[sistema axiomático]].
== La matemática como ciencia ==
[[Archivo:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|[[Carl Friedrich Gauss]], apodado el "príncipe de los matemáticos", se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".]]
[[Carl Friedrich Gauss]] se refería a la matemática como "la reina de las ciencias".<ref> Waltershausen</ref> Tanto en el latín original ''Scientiarum Regina'', así como en [[idioma alemán|alemán]] ''Königin der Wissenschaften'', la palabra ''ciencia'' debe ser interpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que la [[ciencia]] es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o por lo menos [[matemáticas puras]], no son una ciencia.
Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmente [[Falsacionismo|falseable]], y, por tanto, no es una ciencia según la definición de [[Karl Popper]].<ref>{{Cita libro | título = Fuera de su mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientos científicos | autor = Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. | editorial Springer = | año = 1998 | página = 228}}</ref> No obstante, en la [[Años 1930|década de 1930]] una importante labor en la lógica matemática demuestra que las matemáticas no puede reducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de [[física]] y [[biología]], [[Método hipotético deductivo|hipotético-deductivas]]. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vuelto más cercanas a las ciencias naturales cuya hipótesis son conjeturas, así ha sido hasta ahora".<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Otros pensadores, en particular [[Imre Lakatos]], han solicitado una versión de [[Falsacionismo]] para las propias matemáticas.
Una visión alterantiva es que determinados campos científicos (como la [[física teórica]]) son matemáticas con axiomas que pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, [[J. M. Ziman]], propone que la ciencia es ''conocimiento público'' y, por tanto, incluye a las matemáticas.<ref>Ziman</ref> En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho en común con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de las hipótesis. La [[intuición]] y la [[experimentación]] también desempeñan un papel importante en la formulación de [[conjeturas]] en las matemáticas y las otras ciencias. Las [[matemáticas experimentales]] siguen ganando representación dentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las ciencias como en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del [[método científico]]. En [[2002]] [[Stephen Wolfram]] sostiene, en su libro ''[[Un nuevo tipo de ciencia]]'', que la matemática computacional merece ser explorada empíricamente como un campo científico.
Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar a su campo ''ciencia'' es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de las siete [[artes liberales]]. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar la evidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la [[ingeniería]], que ha impulsado considerablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior, es si la matemática fue ''creada'' (como el arte) o ''descubierta'' (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas de incumbencia de la [[filosofía de las matemáticas]].
Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la [[Medalla Fields]], <ref>«Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el más influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky</ref><ref>Riehm</ref> fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del [[Premio Nobel]] para la ciencia. Otros premios son el [[Premio Wolf en matemática]], creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el [[Premio Abel]], otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "[[Problemas de Hilbert]]", fue recopilada en [[1900]] por el matemático alemán [[David Hilbert]]. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "[[Problemas del milenio]]", se publicó en [[2000]]. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dolares. Curiosamente, tan solo uno (la [[Hipótesis de Riemann]]) aparece en ambas listas.
== Ramas ==
Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.
* Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.
* El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los [[número]]s, inicialmente los [[números naturales]] y los [[números enteros]]. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el [[álgebra elemental]], y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la [[teoría de números]]. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del [[álgebra abstracta]]. El importante concepto de [[vector (matemática)|vector]], generalizado a [[espacio vectorial]], es estudiado en el [[álgebra lineal]] y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
* El estudio del espacio origina la [[geometría]], primero la [[geometría euclídea]] y luego la [[trigonometría]]. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.
[[Archivo:Derivative1.png|thumb|Derivada.]]
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las [[ciencias naturales]] y del [[Cálculo matemático|cálculo]]. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]] y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los [[números reales]]. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de [[función matemática]]. Los conceptos de [[derivada]] e [[integral]], introducidos por [[Isaac Newton|Newton]] y [[Leibniz]], representan un papel clave en este estudio, que se denomina [[Análisis matemático|Análisis]]. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al [[análisis complejo]]. El [[análisis funcional]] consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.
Un campo importante en [[matemática aplicada]] es el de la [[estadística]], que permite la descripción, el análisis de [[probabilidad]] y la predicción de fenómenos que tienen [[variable aleatoria|variables aleatorias]] y que se usan en todas las ciencias.
El [[análisis numérico]] investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.
A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:
;Fundamentos y métodos: [[Teoría de conjuntos]], [[lógica matemática]], [[teoría de categorías]].
;[[Investigación operativa]]: [[Teoría de grafos]], [[teoría de juegos]], [[programación entera]], [[programación lineal]], [[Simulación]], [[optimización]], [[método simplex]], [[programación dinámica]].
;[[Número]]s: [[número natural|Números naturales]], [[número entero|números enteros]], [[número racional|números racionales]], [[número irracional|números irracionales]], [[número real]]es, [[número complejo|números complejos]], [[cuaterniones]], [[octoniones]], [[sedeniones]], [[números hiperreales]], [[números infinitos]], [[Cifra (matemática)|dígito]], [[sistema de numeración]], [[número p-ádico]].
;Análisis, continuidad y cambio: [[cálculo matemático|Cálculo]], [[cálculo vectorial]], [[análisis matemático|análisis]], [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]], [[sistemas dinámicos y teoría del caos]], [[función matemática|funciones]], [[logaritmo]], [[sucesión|sucesiones]], [[serie (matemática)|series]], [[análisis real]], [[Análisis complejo]], [[análisis funcional]], [[algebra de operadores]].
;Estructuras: [[Algebra abstracta]], [[teoría de números]], [[álgebra conmutativa]], [[geometría algebraica]], [[teoría de grupos]], [[monoide]]s, [[análisis matemático|análisis]], [[topología]], [[álgebra lineal]], [[teoría de grafos]], [[teoría de categorías]].
;Espacios: [[Topología]], [[geometría]], [[teoría de haces]], [[geometría algebraica]] - [[Geometría diferencial]] - [[Topología diferencial]] - [[Topología algebraica]] - [[Álgebra lineal]] - [[Cuaterniones y rotación en el espacio]]
;[[Matemática discreta]]: [[Combinatoria]], [[Teoría de conjuntos]] - [[Teoría de probabilidad|Probabilidad]] - [[Estadística]] - [[Teoría de la computación]] - [[Criptografía]] - [[Teoría de grafos]] - [[Teoría de juegos]]
;[[Matemática aplicada]]: [[Estadística]], [[matemática discreta]], [[física teórica|física matemática]], [[matemática financiera]], [[teoría de juegos]], [[optimización]], [[análisis numérico]], [[Lógica difusa]].
== Conceptos erróneos ==
Lo que cuenta como [[conocimiento]] en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante [[demostración matemática|demostraciones]]. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la [[física]] (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de [[conjeturas]] razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.
La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.
Matemática no significa [[contabilidad]]. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.
Matemática no significa [[numerología]]. La numerología es una [[pseudociencia]] que utiliza la [[aritmética modular]] para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.
El [[lenguaje formal]] no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del [[lenguaje]] humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el [[idioma español|español]] y el [[idioma francés|francés]]) y los lenguajes formales (como el matemático o los [[lenguajes de programación]]) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.
== Véase también ==
{{Portal|Matemática}}
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
*[[Matemático]]
*[[Función matemática]]
*[[Modelo matemático]]
*[[Fundamentos de la matemática]]
*[[Teoría de juegos]]
*[[Lógica matemática]]
*[[Cuerpo (matemática)]]
*[[Demostración matemática]]
*[[Competiciones matemáticas]]
*[[Filosofía de la matemática]]
*[[Discalculia]]
*[[Matemática aplicada]]
*[[Matemática médica]]
*[[Matemática y Relatividad General]]
*[[Matemáticas aplicadas]]
*[[Matemática discreta]]
*[[Matemática recreativa]]
*[[Teoría]]
*[[Teorema]]
</div>
== Referencias ==
{{Listaref|2}}
== Bibliografía ==
*[[Benjamin Peirce|Benjamin, Peirce]] (1882). ''[http://www.archive.org/details/linearassocalgeb00pierrich Linear Associative Algebra]''. Van Nostrand. Digitalizado por University of California Libraries. Págs. 97-229.
*[[Albert Einstein|Einstein, Albert]] (1923). «Geometry and experience», en ''[http://www.ibiblio.org/ebooks/Einstein/Sidelights/Einstein_Sidelights.pdf Sidelights on relativity]''. P. Dutton., Co.
*Peterson, Ivars. (2001). ''Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics''. Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.
*Jourdain, Philip E. B., «[http://books.google.com/books?id=UQqLHyd8K0IC&pg=PA4&resnum=2 The Nature of Mathematics]», en ''The World of Mathematics''. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41153-8.
*[[Wolfgang Sartorius von Waltershausen|Waltershausen, Wolfgang Sartorius von]] (1856, repr. 1965). ''Gauss zum Gedächtniss''. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
*[[Karl Popper|Popper, Karl R.]] (1995). «On knowledge», en ''In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years''. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
*Ziman, J.M., F.R.S. (1968). ''[http://info.med.yale.edu/therarad/summers/ziman.htm Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science]''. Cambridge University Press.
*Riehm, Carl (August 2002). «[http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf The Early History of the Fields Medal]», en ''Notices of the AMS''. AMS 49 (7). Págs. 778–782.
== Enlaces externos ==
{{commonscat|Mathematics}}
{{Wikibookscat|objeto=libros y manuales}}
{{wikiquote|Matemática}}
{{wikcionario|matemática}}
{{wikisource|Categoría:Matemáticas}}
* [http://www.lasmatematicas.es/ Más de 250 vídeos de matemáticas.]
* [http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/NuevoContenido.html Variados contenidos de matemáticas]
* [http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
* [http://www.rsme.es Real Sociedad Matemática Española]
* [http://e.hnesolutions.com/numerics/mainnumerics.aspx Sitio Interactivo de Análisis Numérico]
* [http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ Historia de las Matemáticas (Astroseti)]
* [http://www.rinconmatematico.com Temas de matemática básica.]
* [http://www.matematicas.net "El paraíso de las Matemáticas"]
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[[Categoría:Matemáticas| ]]
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