Diferencia entre revisiones de «Momento angular»
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El nombre tradicional en español es ''momento cinético'',<ref>Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales [España], ''Vocabulario científico y técnico'', Madrid, Espasa, 1996, pág. 672.</ref> pero por influencia del inglés ''angular momentum'' hoy son frecuentes ''momento angular'' y otras variantes como ''cantidad de movimiento angular'' o ''ímpetu angular''.
== Momento angular en mecánica clásica ==
En [[mecánica newtoniana]], la cantidad de movimiento angular de una masa puntual, es igual al [[producto vectorial]] del [[vector]] de [[posición]] '''<math>\scriptstyle{\vec r}</math>''' (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como [[eje de rotación]], por la [[cantidad de movimiento]] '''<math>\scriptstyle{\vec p}</math>''' (también llamado momento lineal o ''momento''). Frecuentemente se lo designa con el símbolo '''<math>\scriptstyle{\vec L}</math>''':
{{ecuación|
<math> \vec L=\vec r \times\vec p = \vec r\times m\vec v </math>
||left}}
Matemáticamente, por tanto, es el [[Momento de un vector#Momento central|momento central]] de la [[cantidad de movimiento]].
En ausencia de [[momento de fuerza|momentos de fuerzas]] externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.
=== Momento angular de una masa puntual ===
[[Archivo:AngularMom1.png|right|frame|El momento angular de una partícula con respecto al punto <math>\scriptstyle{O}</math>es el producto vectorial de su momento lineal <math>\scriptstyle{m\vec v}</math> por el vector <math>\scriptstyle{\vec r}</math>. Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.]]
En el dibujo de derecha vemos una masa <math>\scriptstyle{m}</math> que se desplaza con una velocidad instantánea <math>\scriptstyle{\vec v}</math>. El '''momento angular''' de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene <math>\scriptstyle{\vec r}</math> y <math>\scriptstyle{\vec v}</math> es, como ya se ha escrito:
:<math> \vec L = \vec r \times m\vec v \,</math>
El vector <math>\scriptstyle{\vec L}</math> es perpendicular al plano que contiene <math>\scriptstyle{\vec r}</math> y <math>\scriptstyle{\vec v}</math>, luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador. Véase [[producto vectorial]] y [[regla del sacacorchos]].
El módulo del momento angular es:
:<math>L=mrv\sin\theta=p\,r\sin\theta=p\,\ell\, </math>
Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su ''brazo'' (<math>\scriptstyle{\ell} </math> en el dibujo), el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula.
Por esta razón, algunos designan el '''momento angular''' como el "'''momento del momento'''".
=== Dependencia temporal ===
Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
:<math> {d\vec L\over dt}={d\ \over dt}(\vec r\times \vec p)= \left({d\vec r\over dt}\times \vec p \right)+\left( \vec r\times{d\vec p\over dt}\right) \,</math>
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de <math>\scriptstyle{\vec r}</math> con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad <math>\scriptstyle{\vec v}</math>. Y como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento <math>\scriptstyle{\vec p}</math>, el producto vectorial de los dos es cero.
Nos queda el segundo paréntesis:
:<math>{d\vec L\over dt}=\vec r\times{d\over dt}\vec p=\vec r\times{d\over dt}m\vec v=\vec r\times(m\vec a) \,</math>
donde <math>\scriptstyle{\vec a}</math> es la aceleración. Pero <math>\scriptstyle{m\vec a=\vec F}</math>, la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de <math>\scriptstyle{\vec r}</math> por la fuerza es el [[Momento de fuerza|torque]] o [[momento de fuerza]] aplicado a la masa:
:<math>{d\vec L\over dt}=\vec r\times \vec F=\vec \tau\,</math>
La derivada temporal del momento angular es igual al [[Momento de fuerza|torque]] aplicado a la masa puntual.
=== Momento angular de un conjunto de partículas puntuales ===
El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:
:<math> \vec L=\sum \vec L_i \,</math>
La variación temporal es:
:<math> {d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\sum\vec\tau_i \,</math>
El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:
:<math> {d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\vec\tau_{ext.} \,</math>
El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.
Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.
=== Momento angular de un sólido rígido ===
Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:</br>
</br>
:<math>\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\mathbf{I}(t) \vec{\omega}(t)\right]</math>
</br>
Donde:
* <math>\scriptstyle{\vec \omega}</math> es la velocidad angular del sólido.
* <math>\scriptstyle{\mathbf{I}}</math> es el [[momento de inercia#Tensor de inercia de un sólido rígido|tensor de inercia]] del cuerpo.
Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia <math>\mathbf{I}</math>, depende del tiempo y por tanto en el [[sistema inercial]] generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los [[Dirección principal|ejes principales de inercia]] sucede que:</br>
</br>
:<math> {d\vec L\over dt} \ne \mathbf{I}{d\vec{\omega} \over dt} =\mathbf{I}\vec{\alpha} </math>
</br>
Donde <math>\scriptstyle{\vec \alpha}</math> es la [[aceleración angular]] del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que <math>\mathbf{I} = \mbox{cte.}</math>, aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:</br>
</br>
:<math> {d\vec L\over dt} = \mathbf{I}{d \vec{\omega} \over dt} + \vec{\omega} \times (\mathbf{I} \vec{\omega})</math>
</br>
Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular.
=== Conservación del momento angular clásico ===
Cuando la suma de los torques externos es cero <math>\scriptstyle{\vec \tau=0}</math>, hemos visto que:
:<math>{d\vec L\over dt}= 0\,</math>
Eso quiere decir que <math>\scriptstyle{\vec L=\mathrm{ constante}}</math>. Y como <math>\scriptstyle{\vec L}</math> es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.
Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su [[Momento de inercia]] es <math>\scriptstyle{I_1}</math> y su velocidad angular <math>\scriptstyle{\vec\omega_1}</math>. Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un torque externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo [[Momento de inercia]] sea <math>\scriptstyle{I_2}</math>, su velocidad angular cambiará de manera tal que:
:<math> \mathbf{I}_1\vec\omega_1 = \mathbf{I}_2\vec\omega_2 \,</math>
En algunos casos el [[momento de inercia]] se puede considerar un [[escalar]]. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.
Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:
* En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín.
* Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los torques externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un [[volante de inercia]]. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños torques inevitables, como el producido por el [[viento solar]].
* Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en [[pulsar]] ([[estrella de neutrones]]). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.
* Debido a la [[marea]]s, la [[luna]] ejerce un torque sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.
=== Ejemplo ===
[[Archivo:MomAng2.png|right|frame|La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular.]]
En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad.
La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un torque sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de torques externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.
[[Archivo:MomAng4.png|right|frame|Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial <math>\scriptstyle{\Delta V}</math> a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y <math>\scriptstyle{\Delta V}</math>]]
En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio <math>\scriptstyle{R_1}</math> en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un [[impulso]], es decir una fuerza aplicada durante un momento. Ese impulso comunica una velocidad radial <math>\scriptstyle{\Delta V}</math> a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente <math>\scriptstyle{V}</math> con <math>\scriptstyle{\Delta V}</math>. La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia <math>\scriptstyle{R_2}</math>, cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio <math>\scriptstyle{R_2}</math>. En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son [[triángulos semejantes|semejantes]]. Lo cual nos permite de escribir:
:<math> {V_2\over V_1}={R_1\over R_2} \,</math>
o sea:
:<math> V_1R_1=V_2 R_2 \,</math>
Y, si multiplicamos por la masa <math>\scriptstyle{m}</math>, obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:
:<math> mV_1R_1=mV_2 R_2 \,</math>
Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.
También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.
No es necesario de hacer la experiencia dando un tirón. Se la puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.
== Momento angular en mecánica relativista ==
En [[mecánica newtoniana]] el momento angular es un pseudovector o [[vector axial]], por lo que en mecánica relativista debe ser tratado como el [[dual de Hodge]] de las componentes espaciales de un tensor antisimétrico. Una representación del momento angular en la [[teoría especial de la relatividad]] es por tanto como [[cuadrivector|cuadritensor]] antisimétrico:</br>
</br>
:<math>\mathbf{L} = \begin{pmatrix}
0 & ctp_x - Ex/c & ctp_y - Ey/c & ctp_z - Ez/c \\
Ex/c - ctp_x & 0 & xp_y - yp_x & xp_z - zp_x \\
Ey/c - ctp_y & yp_x - xp_y & 0 & yp_z - yp_z \\
Ez/c - ctp_z & zp_x - xp_z & zp_y - yp_z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & r_x & r_y & r_z \\
-r_x & 0 & L_z & -L_y \\
-r_y & -L_z & 0 & L_x \\
-r_z & L_y & -L_x & 0
\end{pmatrix}
</math>
</br>
Puede verse que las 3 componentes espaciales forman el momento angular de la mecánica newtoniana <math>\vec{L} = (L_x, L_y, L_z)</math> y el resto de componentes <math>(r_x, r_y, r_z) \,</math> describen el momiviento del [[centro de masa|centro de masas relativista]].
== Momento angular en mecánica cuántica ==
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