Diferencia entre revisiones de «Proporcionalidad»
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== Primer ejemplo ==
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 [[gramos|g]] de [[harina]], 150 [[gramos|g]] de [[mantequilla]], cuatro huevos y 120 g de [[azúcar]]. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 de mantequilla y 150 de azúcar tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el ''chef'' que escribió la receta.
Se dice que la [[cantidad]] de cada ingrediente es '''proporcional''' al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente '''k''' no nulo (<math> 5 \over 4</math> en el ejemplo) tal que <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n \ </math></div><br />
[[Archivo:Variables_proporcionals.png|right|variables proporcionales relacionados por una función lineal]]
Si se consideran <math>x_1, x_2 ... x_n \ </math> e <math>y_1, y_2 ... y_n \ </math> como valores de [[variable]]s <math>x \ </math> e <math>y \ </math>, entonces se dice que estas variables son proporcionales; la [[igualdad]] '''y = k·x''' significa que y es una [[Función lineal]] de x.<br />
La representación gráfica de esta [[función]] es una [[recta]] que pasa por el origen del [[sistema de coordenadas]]. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):
<center><math>\Delta y = k \cdot \Delta x \ </math></center>
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de [[matemáticas]], con alumnos de trece [[año]]s aproximadamente.
La [[relación matemática|relación]] «Ser proporcional a» es
* [[relación reflexiva|reflexiva]] ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
* [[relación simétrica|simétrica]] (cuando ''y'' es proporcional a ''x'' entonces ''x'' lo es a ''y'', con el coeficiente inverso) y
* [[relación transitiva|transitiva]] (si ''x'' es proporcional a ''y'', e ''y'' a ''z'', entonces ''x'' lo es con ''z'', multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una [[relación de equivalencia]]. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
[[Archivo:Proporcionalidad tabla 2.png|center|tres tablas de proporcionalidad 2x2]]
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
[[Archivo:Proporcionalidad tabla 3.png|center|tres maneras de ver la proporcionalidad]]
Una '''proporción''' está formada por los [[número]]s a, b, c y d, si la [[razón]] entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de [[cero]] y se lee ''a es a b como c es a d ''.
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales:
a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple:
a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman '''extremos'''; c y b se llaman '''medios'''.
En toda proporción ''el producto de los extremos es igual al producto de los medios''.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
# verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por <math> b \over a</math>; en la segunda línea se tiene que multiplicar por <math> d \over c</math>, luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
# verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
# verificar la igualdad de los productos cruzados: '''a·d = b·c'''. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme interés en este contexto).
== Segundo ejemplo ==
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