Diferencia entre revisiones de «Coordenadas polares»
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[[Archivo:Polar coordinates integration region.svg|thumb|La región ''R'' está delimitada por la curva ''r''(θ) y las semirrectas θ = ''a'' y θ = ''b''.]]
Sea ''R'' una región del plano delimitada por la curva continua ''r''(θ) y las semirrectas θ = ''a'' y θ = ''b'', donde 0 < ''b'' − ''a'' < 2π. Entonces, el área de ''R'' viene dado por
:<math>S = \frac12\int_a^b r(\theta)^2\, d\theta.</math>
[[Archivo:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|La región ''R'' se aproxima por ''n'' sectores (aquí, ''n'' = 5).]]
Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [''a'', ''b''] se divide en ''n'' subintervalos, donde ''n'' es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a ''b'' − ''a'' (la longitud total del intervalo) dividido por ''n'' (el número de subintervalos). Para cada subintervalo ''i'' = 1, 2, …, ''n'', sea θ<sub>''i''</sub> su punto medio. Se puede construir un [[sector circular]] con centro en el polo, radio ''r''(θ<sub>''i''</sub>), ángulo central Δθ y longitud de arco <math>r(\theta_i)\Delta\theta\,</math>. El área de cada sector es entonces igual a
:<math>S_i = \tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta</math>.
Por lo tanto, el área total de todos los sectores es
:<math>S_n = \sum_{i=1}^n S_i = \sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta.</math>
Cuanto mayor sea ''n'', mejor es la aproximación al área. En el límite, cuando ''n'' → ∞, la suma pasa a ser una [[suma de Riemann]], y por tanto converge en la integral
:<math>\lim_{n \to +\infty} S_n=\frac{1}{2} \int_a^b r(\theta)^2 \mathrm{d}\theta=S</math>
=== Generalización ===
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