Diferencia entre revisiones de «Binomio»
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En [[álgebra]], un '''binomio''' es una expresión algebraica con dos [[término]]s. Estrictamente hablando se refiere a un [[polinomio]] formado por la suma de dos [[monomio]]s, aunque se usa de forma más facil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos [[término]]s.
Bajo la definición estricta son binomios las expresiones:
{{ecuación|<math>x^2-3y, \qquad 5a+\sqrt{3}</math> }}
mientras que no lo son expresiones tales como:
{{ecuación| <math>\cos(x)-\tan(x),\qquad e^{x}-1, \qquad x^2-\sqrt{x+1}</math> }}
puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. Así, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección de "binomios al cuadrado" que diga «''Calcula el resultado de'' (cos(''x'')+sen(''x''))<sup>2</sup>».
== Grado de un binomio ==
Para hallar el '''grado''' de un binomio :c, se calcula la suma de exponentes en cada término. La mayor suma es el grado.
: Así, en el binomio <math> a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2\,</math> el primer monomio tiene grado 2+5+2+1 = 10, mientras que el grado del segundo es 3+9+2 = 14, por lo que el binomio tiene grado 14.
:El binomio <math>\frac{x}{2}+3\,</math> tiene grado 1, puesto que el grado de ''x'' = ''x''<sup>1</sup> es 1, mientras que el grado del número ''3'' es cero.
== Productos notables ==
{{principal|Productos notables}}
[[Imagen:FactorComun.svg|thumb|Representación gráfica de la regla de ''factor común'']]Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan '''[[productos notables]]''' y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios. Estos productos suelen ser estudiados con detalle en los primeros cursos de álgebra.
=== Factor común ===
El resultado de multiplicar un binomio ''a+b'' con un término ''c'' se obtiene aplicando la [[propiedad distributiva]]:
{{ecuación|<math>
c (a + b) = c a + c b \,
</math>}}
o realizando la operación:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrr}
& a & +b \\
\times & & c \\
\hline
& ca & +cb
\end{array}
</math>}}
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es ''c(a+b)'' (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (''ca'' y ''cb'').
'''Ejemplo''':
:<math> 3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy \,</math>
=== Cuadrado de binomio ===
[[Imagen:Binomio al cuadrado.svg|thumb|Visualización de la fórmula para ''binomio al cuadrado'']] Elevando un binomio al cuadrado es decir, se multiplica por sí mismo:
{{ecuación|<math>
(a + b)^2 = (a + b) \times (a + b) \,
</math>}}
que se puede multiplicar así:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrr}
& a & +b \\
\times & a & +b \\
\hline
& +ab & +b^2 \\
a^2 & +ab & \\
\hline
a^2 & +2ab & +b^2
\end{array}
</math>}}
Por lo que se puede expresar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:
{{ecuación|<math> (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \, </math>}}
Un trinomio de la forma <math>a^2 + 2 a b + b^2 \,</math>, se conoce como [[trinomio cuadrado perfecto]];
Cuando el segundo término es negativo:
{{ecuación|<math>
(a - b)^2 = (a - b) \times (a - b) \,
</math>}}
la forma con la que se obtiene es:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrr}
& a & -b \\
\times & a & -b \\
\hline
& -ab & +b^2 \\
a^2 & -ab & \\
\hline
a^2 & -2ab & +b^2
\end{array}
</math>}}
esto es:
{{ecuación|<math> (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,</math>}}
'''Ejemplo''':
:<math>(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y)+ (-3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,</math>
<br style="clear:both;" />
== Suma por Diferencia ==
El resultado de la operación:
{{ecuación|<math> (a + b)(a - b) \, </math>}}
es:
{{ecuación| <math>
\begin{array}{rrr}
& a & +b \\
\times & a & -b \\
\hline
& -ab & -b^2 \\
a^2 & +ab & \\
\hline
a^2 & & -b^2
\end{array}
</math>}}
Que se suele decir: suma por diferencia, diferencia de cuadrados:
{{ecuación|<math> (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \, </math>}}
'''Ejemplo''':
:<math>(3x+5y)(3x-5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2 \,</math>
[[Imagen:Diferencia de cuadrados.svg|thumb|280px|Producto de ''binomios conjugados'']]
Dos binomios que sólo se diferencian en el signo de la operación se denominan '''binomios conjugados'''. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una '''diferencia de cuadrados'''
{{ecuación|<math> a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \, </math>}}
'''Ejemplo''':
:<math>(3x+5y)(3x-5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2 \,</math>
== Otros usos del término ==
De forma coloquial se emplea binomio para denotar un par de conceptos o personas relacionadas. Así, se puede hablar de ''el binomio de [[Batman]] y [[Robin]]'' (pareja) o ''el binomio [[cliente]]/[[servidor]]'' (en informática).
== Véase también ==
*[[Teorema del binomio]]
*[[Monomio]]
*[[Trinomio]]
*[[Polinomio]]
== Referencias ==
{{cita libro
| apellidos = Wentworth
| nombre = George
| coautores = y Smith, David Eugene
| editor = Ginn & Co.
| título = Elementos de Algebra
| edición = 2a
| año = 1917
| ubicación = Boston, USA
| id = ISBN
| páginas = 456
}}
== Enlaces externos ==
{{wikcionario|binomio}}
[[Categoría:Polinomios]]
[[Categoría:Álgebra elemental]]
[[ca:Binomi]]
[[de:Binom]]
[[en:Binomial]]
[[et:Binoom]]
[[fi:Binomi]]
[[fr:Binôme (mathématique)]]
[[it:Binomio]]
[[pl:Dwumian]]
[[ru:Бином]]
[[sl:Binom]]
[[sv:Binom]]
[[uk:Біном]]
[[zh:二项式]]
hahaha oi soñe liiind0o k0on o·934x34
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