Diferencia entre revisiones de «Fracción continua»
Contenido eliminado Contenido añadido
Deshecha la edición 30613289 de 190.68.17.117 (disc.) |
|||
Línea 26:
:<math>r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i}</math>
donde ''a''<sub>0</sub> puede ser cualquier entero y los otros ''a''<sub>i</sub> pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número <math> \pi</math> , por ejemplo, se representa con la sucesión {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, … }.
Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo: la constante 10 se usa ya que los cálculos los hacemos en el [[sistema decimal]]. Bien podría usarse el [[octal]] o el [[binario]]. Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita {0, 3, 3, ..}.
Línea 44 ⟶ 42:
La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy importante. Si truncamos una representación decimal obtenemos una aproximación racional pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representación decimal de π obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Los denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximación de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la aproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 veces más precisa que 3.1416.
==Apuntes históricos==
| |||