Diferencia entre revisiones de «Elipse»
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La '''elipse''' es el [[lugar geométrico]] de los [[punto (geometría)|puntos]] del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados [[Foco (geometría)|focos]] es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un [[cono (geometría)|cono]] por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la [[generatriz]] respecto del eje de revolución.<ref>Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es menor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la intersección será una [[hipérbola]]. Será una [[parábola (matemática)|parábola]] si es paralelo al citado eje, y una [[circunferencia]] si es perpendicular dicho eje.</ref> Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un [[esferoide]] achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
[[Archivo:ElipseAnimada.gif|right|]]
== Historia ==
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por [[Euclides]], y su nombre se atribuye a [[Apolonio de Perge]]. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, [[Kepler]] creía que la órbita de [[Marte]] era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el [[Sol]] en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. [[Halley]], en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.<ref>Mathworld: ''Ellipse''.</ref>
== Elementos de una elipse ==
[[Archivo:WIKI elipse TT.JPG|350px|thumb|Elementos de una elipse.]]
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a <math> \, {2a} </math>), y un «eje menor», trazo CD; la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos <math> \, {F_1} </math> y <math> \, {F_2} </math> que se llaman «focos».
El punto <math> \, {Q} </math> puede estar ubicado en cualquier lugar del [[perímetro]] de la «elipse».
=== Puntos de una elipse ===
Si <math>'F_1'</math> y <math>'F_2'</math> son dos puntos del plano y ''D'' es una constante mayor que la distancia <math>F_1F_2</math>, un punto ''Q'' pertenecerá a la elipse, si:
:<math>F_1 Q + F_2 Q = d = 2a \,</math>
donde <math>a\;</math> es el [[semieje mayor]] de la elipse.
=== Excentricidad de una elipse ===
La [[excentricidad]] de una elipse es la razon entre su semidistancia focal (segmento <math>F_1 D</math> o <math>F_2 D</math>), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
:<math>e=\frac{c}{a}</math> , con (0 <u><</u> '''e''' <u><</u> 1)
Dado que <math>c = \sqrt{a^2-b^2}</math> , también vale la relación:
:<math>e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}
=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}</math>
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.<ref>[http://geometriadinamica.es/Geometria/Conicas-y-otras-curvas/Elipse-Excentricidad.html Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadinamica]</ref>
=== Constante de la elipse ===
[[Archivo:Ellipse Animation Small.gif|right|300px]]
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos [[segmento]]s (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco <math> \, {F_1} </math> al punto <math> \, {Q} </math> (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco <math> \, {F_2} </math> a ese mismo punto <math> \, {Q} </math>. (El [[segmento]] de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo <math> \, {QF_1} </math> (color azul), como al <math> \, {QF_2} </math> (color rojo), se llaman «radio [[Vector (física)|vector]]». Los dos «focos» [[Punto medio|equidistan]] del [[Centro (geometría)|centro]] <math> \, {0} </math>. En la animación, el punto <math> \, Q </math> recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).
== Ecuaciones de la elipse ==
La ecuación de una elipse en [[coordenadas cartesianas]], con centro en el origen, es:
{{ecuación|
<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 </math>
||left}}
donde ''a'' > 0 y ''b'' > 0 son los semiejes de la elipse (''a'' corresponde al eje de las [[abscisa]]s, ''b'' al eje de las [[ordenada]]s). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale ''2c = 2ea'', siendo ''e'' la [[excentricidad]] y ''a'' el [[semieje mayor]].
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>), la ecuación es:
{{ecuación|
<math>\frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1 </math> ||left}}
En [[coordenadas polares]] una elipse viene definida por la ecuación:
{{ecuación|
<math>\rho(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}</math> ||left}}
La ecuación paramétrica de una elipse es:
{{ecuación|<math>\begin{cases}
x = a\cos\theta\\
y = b\sin\theta \end{cases}</math> ||left}}
con <math>\theta\in [0,2\pi)</math>, y donde el ángulo θ se puede interpretar como el ángulo polar.
=== Área interior de una elipse ===
El [[área]] de la superficie interior de una elipse es:
{{ecuación|
<math>\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b</math>
||left}}
Siendo '''a''' y '''b''' los semiejes.<ref>[http://www.educaplus.org/play-22-%C3%81rea-de-la-elipse.html Ejemplo en educaplus]</ref>
=== Longitud de una elipse ===
El cálculo del [[perímetro]] de una elipse requiere del cálculo de [[integral elíptica de segunda especie|integrales elípticas de segunda especie]].
Sin embargo, el matemático [[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan|Ramanujan]] ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:
:<math>P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>
=== Propiedades notables ===
La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en [[Analogía de Michelson y Morley]].
== La elipse como cónica ==
La elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta [[generatriz]] del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada. En otro caso el corte podría ser una [[hipérbola]] o una [[parábola]]. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales se las llama [[sección cónica|secciones cónicas]] o simplemente cónicas.
[[Archivo:Conicas1.PNG|center|thumb|la elipse como conica]]
== La elipse como hipotrocoide ==
La elipse es un caso particular de [[hipotrocoide]], donde '''R''' = '''2r''', siendo '''R''' el radio de la circunferencia directriz, y '''r''' el radio de la circunferencia [[generatriz]].
En una curva hipotrocoide, la [[circunferencia]] que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia [[directriz]].
{|align=center style="border: 1px solid #999"
|[[Archivo:Ellipse as hypotrochoid.gif|center|thumb|La elipse como caso particular de hipotrocoide. Datos: R = 10, r = 5, d = 1.]]
|[[File:Parametric ellipse.gif|thumb|right|200px|Hipotroide. El cateto color rojo siempre es perpendicular al eje de las '''X''', por lo que el triángulo siemtre es un [[rectángulo]]]]
|}
== Anamorfosis de un círculo en una elipse ==
{{AP|Anamorfosis}}
Cierta trasformación de la [[circunferencia]] (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), se denomina [[anamorfosis]]. Se corresponde a una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idioma griego, y significa trasformar.
{|align=center style="border: 1px solid #999"
|[[Archivo:Circulo 001 tt.JPG|250px|thumb|left|Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.]]
|[[Archivo:Circulo 002 ttt.JPG|220px|thumb|left|Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante una [[anamorfosis]], donde el eje Y se ha contraído y el X se ha dilatado.]]
|}
En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma», la circunferencia se transforma en una elipse, y los cuadrados se deforman en sentido del eje X, del eje Y, o de ambos.
== La elipse en mecánica celeste ==
En [[mecánica celeste]], un cuerpo sometido a la [[Gravedad|atracción gravitatoria]] de otro y que gira a su alrededor, describe una [[órbita]] elíptica ideal. Uno de los focos de la elipse coincide con el cuerpo atractor. La excentricidad de la trayectoria depende de las condiciones iniciales. Esto está descrito en las [[leyes de Kepler]].
== Véase también ==
* [[Sección cónica]]
** [[Parábola (matemática)|Parábola]]
** [[Hipérbola]]
** [[Circunferencia]]
** [[Superelipse]]
* [[Circunferencia principal]]
* [[Leyes de Kepler]]
* [[Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas]]
== Notas ==
{{Listaref|2}}
== Enlaces externos ==
*[http://www.stefanelli.eng.br/webpage/es_elipse.html Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica elipse.]
*[http://www.educaplus.org/play-181.html Actividad escolar para estudiar la elipse.]
*[http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html Cálculo del perímetro de una elipse]
*[http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html Elipse, en Mathworld] (en inglés)
[[Categoría:Secciones cónicas]]
[[Categoría:Figuras geométricas]]
[[af:Ellips]]
[[ar:قطع ناقص]]
[[ast:Elipse]]
[[be:Эліпс]]
[[be-x-old:Эліпс]]
[[bg:Елипса]]
[[bs:Elipsa]]
[[ca:El·lipse]]
[[cs:Elipsa]]
[[da:Ellipse (geometri)]]
[[de:Ellipse]]
[[el:Έλλειψη]]
[[en:Ellipse]]
[[eo:Elipso (matematiko)]]
[[et:Ellips (geomeetria)]]
[[eu:Elipse]]
[[fa:بیضی]]
[[fi:Ellipsi]]
[[fr:Ellipse (mathématiques)]]
[[gl:Elipse (lingua)]]
[[he:אליפסה]]
[[hi:दीर्घवृत्त]]
[[hr:Elipsa]]
[[hu:Ellipszis (görbe)]]
[[ia:Ellipse]]
[[id:Elips]]
[[io:Elipso]]
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[[ja:楕円]]
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[[ru:Эллипс]]
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[[sh:Elipsa]]
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[[sr:Елипса]]
[[sv:Ellips (matematik)]]
[[ta:நீள்வட்டம்]]
[[tr:Elips]]
[[uk:Еліпс]]
[[ur:بیضہ]]
[[vi:Elíp]]
[[zh:椭圆]]
[[zh-classical:橢圓]]
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