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Diferencia entre revisiones de «Elemento algebraico»

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== Introducción ==
La [[Teoría de Cuerpos]] es rtgggggggggggggggggggggguna rama de la [[Teoría de Anillos]], que a su vez es una rama del [[Álgebra abstracta|Álgebra Abstracta]]. Uno de las principales campos de estudio de la Teoría de Cuerpos es el de decidir si un [[polinomio]] cuyos coeficientes están en el cuerpo tiene sus raíces en el cuerpo (es decir, si al resolver la ecuación polinómica, las soluciones pertenecen o no al cuerpo).
 
Cuando un cuerpo está incluido en otro cuerpo puede ocurrir que los elementos del grande sean raíces de polinomios con gwthgthrwrtúltimocoeficientes en el pequeño -en cuyo caso se dice que los elementos son '''algebraicos'''- o que haya elementos que no son raíces de ninguno de esos polinomios. En este último caso se dice que dichos elementos son [[elemento trascendente|trascendentes]].
 
== Construcción ==
(La siguiente información es de carácter técnico, y puede resultar ardua e incomprensible para el no iniciado en el [[Álgebra abstracta|Álgebra Abstracta]], peroghtehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhterrcdot)</math>pero dees formaesencial quepara <math>L</math>comprender esel [[Extensióndesarrollo de cuerpoesta rama de la [[Matemáticas|extensiónMatemática]]. Por desgracia no puede exponerse de <math>K</math>una manera más llana sin perder rigor, lo que haría que dejara de ser útil.)
 
Sea <math>\alpha \in L</math>. Si <math>\alpha \in K</math>, entonces <math>\alpha</math> es [[raíz (matemáticas)|raíz]] del [[polinomio]] <math>p(x)= x - \alpha</math>, que es [[polinomio irreducible|irreducible]] en <math>K[x]</math> (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier [[anillo greeeeeeeegreunitario|anillos conmutativos y unitarios]], y se denomina [[homomorfismo evaluación|aplicación evaluación]].▼
Sean dos [[cuerpo (matemáticas)|cuerpos]] <math>(K,+,\cdot)</math> y <math>(L,+,\cdot)</math> de forma que <math>L</math> es [[Extensión de cuerpo|extensión]] de <math>K</math>.
▲Sea <math>\alpha \in L</math>. Si <math>\alpha \in K</math>, entonces <math>\alpha</math> es [[raíz (matemáticas)|raíz]] del [[polinomio]] <math>p(x)= x - \alpha</math>, que es [[polinomio irreducible|irreducible]] en <math>K[x]</math> (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier [[anillo greeeeeeeegreunitario(matemáticas)|anillosanillo]] conmutativosde ypolinomios). unitarios]],Si y<math>\alpha se\in denominaL [[homomorfismo\setminus evaluación|aplicaciónK</math>, evaluación]].entonces realizamos la siguiente construcción:
 
*Construimos el conjunto <math>K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}</math>. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de <math>K</math>, es [[Extensión de cuerpo|subcuerpo]] de <math>L</math>, y de hecho es la menor extensión de <math>K</math> que contiene a <math>\alpha</math>. Se le denomina [[extensión simple|extensión generada por]] <math>\alpha</math> sobre <math>K</math>.
 
*Construimos la [[Aplicación matemática|aplicación]] <math>\beta: K[x] \longrightarrow K(\alpha)</math> que a cada polinomio <math>p(x) \in K[x]</math> le hace corresponder su evaluación en <math>\alpha</math>, i.e., <math>\beta(p)=p(\alpha)</math>. Esta aplicación es de hecho un [[homomorfismo de anillos|isomorfismo]] de [[anillo conmutativo unitario|anillos conmutativos y unitarios]], y se denomina [[homomorfismo evaluación|aplicación evaluación]].
 
Ahora sólo pueden darse dos situaciones:
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