|
[[Archivo:Apothem of hexagon.svg|Apotema de un [[hexágono]]|thumb|right|200px]]
La '''apotema''' <ref>[[Aurelio Baldor|Geometría de Aurelio Baldor.]]</ref>de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un [[segmento]] cuyos extremos son el centro de un [[polígono]] regular y el punto medio de uno cualquiera de sus lados, y es siempre [[perpendicularidad|perpendicular]] a dicho lado.
En una [[pirámide (geometría)|pirámide]] regular, también se denomina apotema al segmento trazado desde el vértice al centro de cualquier lado del polígono que conforma la base; coincide con la altura de cada cara triangular de la pirámide regular.
[[Archivo:ES-Teorema de Tales de Mileto.svg|300px|center]]
{|align=center style="border: 1px solid #999"
|[[Archivo:Circulo triang rect.png|thumb|220px|[http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Otras_propiedades ver propiedades]]]
|[[Archivo:ES-Teorema de Tales de Mileto.svg|300px]]
|}
*El punto <math>\,\,C_x \,\,\,\,</math> puede estar en cualquier lugar del perímetro de cualquiera de ambos [[semicírculo]], incluso traslapando al punto <math> \,\,\,A \, \,</math> o al punto <math> \,\,B \, \,</math>.
*La [[longitud]] de un [[cateto]] tiende a cero cuando su [[ángulo adyacente]] tiende a cero. Y en contra partida, la longitud del otro cateto tiende a igualar el valor de la [[hipotenusa]].
==== Demostración ====
Todo lo expuesto anteriormente, nos permite iniciar el cálculo del '''apotema''' y de la '''sagita''', para este caso especial:
#Los polígonos regulares son '''equiláteros'''; todos sus lados tienen la misma longitud: '''no se cumple''', dado que uno de los lados del polígono tiene una longitud de 0, y los dos restante tienen por longitud el diámetro de la circunferencia.
#Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes: '''no se cumple''', porque uno tiene 0º y los dos restantes 90º.
==== Demostración indirecta ====
[[File:Parametric ellipse.gif|thumb|center|200px|El cateto color rojo siempre es perpendicular al eje de las '''X''', por lo que el triángulo siempre es un [[rectángulo]]]]
{|align=center style="border: 1px solid #999"
|[[File:CUDRANTE II TT.jpg|thumb|center|150px| Triángulo rectángulo ubicado en el cuadrante II]]
|[[File:CUDRANTE I TT.jpg|thumb|center|150px|Triángulo rectángulo ubicado en el cuadrante I]]
|}
{|align=center style="border: 1px solid #999"
|[[File:CUDRANTE III TT.jpg|thumb|center|150px| Triángulo rectángulo ubicado en el cuadrante III]]
|[[File:CUDRANTE IV TT.jpg|thumb|center|150px| Triángulo rectángulo ubicado en el cuadrante IV]]
|}
Como se visualiza en el gráfico dinámico, la hipotenusa (color azul), es igual al diámetro de la [[radio]], y en donde la longitud, tanto del cateto color rojo como el de color negro, varía inversamente su valor.
*En el cuadrante '''I''', el cateto color rojo aumenta de cero hasta igualar la longitud de la hipotenusa. Dicho cateto es cero, cuando su ubicación traslapa el semieje de las '''X''', y es igual a la hipotenusa cuando su valor traslapa el semieje de la '''Y'''.
*En el cuadrante '''II''', el cateto color rojo disminuye, desde la longitud de la hipotenusa, hasta cero. Dicho cateto es igual a la hipotenusa cuando su valor traslapa el semieje de la '''Y''', vuelve a ser cero cuando traslapa el semieje de las '''–X'''.
*En el cuadrante '''III''', el cateto color rojo aumenta desde cero hasta igualar la longitud de la hipotenusa. Dicho cateto es igual a cero cuando traslapa el semieje de las '''–X''', y vuelve a ser igual a la hipotenusa cuando traslapa el semieje de las '''–Y'''.
*En el cuadrante '''IV''', el cateto color rojo disminuye, desde la longitud de la hipotenusa, hasta cero. Dicho cateto es igual a la hipotenusa cuando su valor traslapa el semieje de la '''-Y''', vuelve a ser cero cuando traslapa el semieje de las '''X'''.
#Para este caso, la hipotenusa color azul es una constante, dado que siempre es igual al radio del círculo = <math>\,\,\,A\,\, </math>
#Cateto color rojo es una variable = <math>\,\,\,{_\Delta \,R}\,\, </math> , en donde su longitud varía de manera inversa al cateto color rojo.
#Cateto color negro es una variable = <math>\,\,\,{_\Delta \,N} \,\,</math>, el cual siempre traslapa un segmento del eje de las '''X''' y '''-X''', en donde su longitud varía de manera inversa al cateto color rojo.
#El cateto color rojo es perpendicular al cateto color negro, por lo que siempre forman un ángulo de '''90º'''
<math>\,\,\,A^2 \,\, = \,\,</math> <math>\,\,{_\Delta \,R^2}\,\,-\,\,2\,x\,{_\Delta \,R}\,x\,{_\Delta \,N}\,x\,\cos\,\,90^0\,\,\,+\,\,\,{_\Delta \,N^2} </math>
:<math>\,\,\,A\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {{_\Delta \,R^2}\,\,-\,\,2\,x\,{_\Delta \,R}\,x\,{_\Delta \,N}\,x\,\cos\,\,90^0\,\,\,+\,\,\,{_\Delta \,N^2}} </math>
Considerando que toda cantidad multiplicada por cero es cero <math>(\,\,\cos \,\,90^0 \,\,\,=\,\,\,0 )</math>, podemos eliminar de la [[ecuación]], lo siguiente:
<math>\,(-\,\,2\,x\,{_\Delta \,R}\,x\,{_\Delta \,N}\,x\,\cos\,\,90^0)</math>
:*<math>\,\,\,A\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {{_\Delta \,R^2}\,\,\,+\,\,\,{_\Delta \,N^2}} </math>
::<math>\,\,{_\Delta\,R}\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,{_\Delta \,N^2}} </math>
::<math>\,\,{_\Delta\,N}\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,{_\Delta \,R^2}} </math>
===== Conclusión =====
La ''hipotenusa'' y el ''cateto rojo'' son ''coincidentes'' cuando ambos traslapan el semieje de la '''X'''; o el semieje de la '''Y''', o el semieje de la '''–X'''; o el semieje de las '''–Y'''. Para que la ''hipotenusa'' y el ''cateto rojo'' sean conicidentes se requiere que, un ángulo, del tríangulo sea un ''ángulo nulo''.
{| class="wikitable" border="1"
! Tipo !! Descripción
|-
| [http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo#Clasificaci.C3.B3n_de_.C3.A1ngulos_planos Ángulo nulo]
[[File:Lineline.jpg|80px]]
|| Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes (traslapadas), por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0º.
|-
| [[Ángulo recto]]
[[Archivo:Ángulo recto.svg|100px]]
|| Un ángulo recto es de amplitud igual a <math>\frac{\pi}{2}</math> [[radián|rad]]
Es equivalente a 90º ''sexagesimales'' (o 100<sup>g</sup> ''centesimales'').
Los dos lados de un ángulo recto son [[Perpendicularidad|perpendiculares]] entre sí.<br />La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
|}
* El [[Sistema de coordenadas]] que, es el sistema de referencia para el [[espacio euclídeo]], en donde opera la [[geometría euclidiana]], la suma de los tres [[ángulo interno|ángulos internos]] de un [[triángulo]] miden '''180°''' lo que equivale a π [[Radián|radianes]]. [http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo#Propiedades_de_los_tri.C3.A1ngulos]
<ref>En la [[geometría no euclidiana]], que no se aplica en el plano del [[sistema de coordenadas|sistema rectangular de cordenadas cartesianas]], como la de [[Bernhard Riemann|Riemann]] y [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky|Lobachevsky]] la suma de los ángulos internos es diferente a 180[[grado|°]].</ref>
:*<math>\,\,{_\Delta\,R}\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,{_\Delta \,N^2}} </math>
:: Si <math>\,\,\,{_\Delta \,N} \,\, = \,\, A</math>
:: Entonces <math>\,\,\,{_\Delta \,R} \,\, = \,\, 0</math>
::<math>\,\,\,0\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,A^2} </math>
:*<math>\,\,{_\Delta\,N}\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,{_\Delta \,R^2}} </math>
:: Si <math>\,\,\,{_\Delta \,R} \,\, = \,\, A</math>
:: Entonces <math>\,\,\,{_\Delta \,N} \,\, = \,\, 0</math>
::<math>\,\,\,0\,\, = \,\,</math> <math>\,\,\sqrt {\,A^2\,\,\,-\,\,\,A^2} </math>
==== Disquisiciones ====
=== Polígono regular de tres lados ([[Triángulo]]) inscrito. ===
[[File:Triángulo Equilatero TT.jpg|200px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,3} \, \, = 60^0</math>
:Sagita <math> \,= \,10 \,- \,5 \, = \,5 \,</math>
=== Polígono regular de cuatro lados ([[CuadradoCuadrilátero]]) inscrito. ===
[[File:Triángulo CUADRADO TT.jpg|200px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,4} \, \, = 45^0</math>
=== Polígono regular de cinco lados ([[Pentágono]]) inscrito. ===
Imaginarlo inscrito:
[[File: Pentágono regular.svg |150px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,5} \, \, = 36^0</math>
=== Polígono regular de seis lados ([[Hexágono]]) inscrito. ===
[[File:Triángulo Hexágono TT.jpg|200px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,6} \, \, = 30^0</math>
=== Polígono regular de siete lados ([[Heptágono]]) inscrito. ===
Imaginarlo inscrito:
[[File:Heptágono regular.svg|150px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,7} \, \, = 25,71428^0</math>
=== Polígono regular de ocho lados ([[Octágono]]) inscrito. ===
Imaginarlo inscrito:
[[File:Octágono regular.svg |150px|center]]
:<math> \, \frac {\,360^0} {\,2\,x\,8} \, \, = 22,5^0</math>
:Sagita <math> \,= \,10 \,- \,9,999619231 \, = \,0,000380769 \,</math>
=== Polígono regular [[GúgolGoogol|GugólgonoGoogólgono]] inscrito. ===
:Sagita <math> \,= \,10 \,- \,(\approx 10 \,) = \,\approx 0 \,</math>
Y si se trata de un [[http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%BAgol#G.C3.BAgolplex gúgolplex], mucho mejor
== Referencias ==
{{Listaref}}
== Referencias externas ==
*[http://www.lifeisastoryproblem.org/vocab/es/a/apothem.html Apotema]
*[http://books.google.cl/books?id=9Fp24O9mFXoC&pg=PA64&lpg=PA64&dq=apotema+y+sagita&source=bl&ots=-1BWvDO7Ig&sig=2D5S2geQr-TZBhya-HPxJQJSlF0&hl=es&ei=qDzjSuWSDNHR8Aa1tOzwAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CBoQ6AEwCDgK#v=onepage&q=apotema%20y%20sagita&f=false Adiciones a la geometría de Don Benito Bails. Escrito por José Mariano Vallejo,Benito Bails]
*[http://www.sudiccionario.com/sitios/Apotema__30.html Su diccionario. com]
*[http://translate.google.cl/translate?hl=es&sl=ca&u=http://www.wikilingua.net/ca/articles/a/p/o/Apotema.html&ei=Az7jSt6mCqrg8Abj8s3uAQ&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=7&ved=0CBMQ7gEwBjgU&prev=/search%3Fq%3Dapotema%2By%2Bsagita%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26channel%3Ds%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DN%26start%3D20 Apotema]
*[http://wapedia.mobi/es/Apotema Wapedia]
[[Categoría:Geometría]]
|
