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En [[geometría]] un '''teseracto''' o '''hipercubo''' es una figura formada por dos [[Cubo (geometría)|cubos]] tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (llamemos al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un [[cubo]] de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas [[cubo|cúbicas]], 24 caras [[cuadrado|cuadradas]], 32 [[Arista (Geometría)|aristas]] y 16 [[Vértice (Geometría)|vértice]]s, esto tomando en cuenta el desarrollo del polinomio <math>(2x+1)^n</math> donde el valor de '''n''' equivale al número de dimensiones (en este caso particular 4) y '''x''' es el largo, alto, ancho, etc., de la figura polidimensional [[equilátero|equilátera]].
Se puede decir que un hipercubo pertenece a la familia de los '''[[hipercubos'''. pero los hipercubos son n dimensionales, esto es, no se restringen a la cuarta dimenaión, sino que pueden ser construidos hasta la dimensión n, siendo n cualquier número]].
Este término fue acuñado por primera vez en [[1888]] por el matemático inglés [[Charles Howard Hinton]] en una obra llamada ''A New Era of Thought'', especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.
Si bien existen diferentes planteamientos sobre cómo explicar la conformación de cuerpos regulares para varias dimensiones, no he encontrado ninguna forma sencilla de hacerlo que tenga propiedades didácticas, y que permita, sobre todo a los jóvenes, comprender diferentes tipos de cuerpos geométricos regulares para cualquier dimensión n. Esto es lo que nos proponemos desarrollar aquí. Para ello usaremos un poco de teoría combinatoria, algunas expresiones algebraicas simples y tablas.
Nuestro objetivo primario podría ser resumido en llenar una tabla básica que contiene en las columnas a n, esto es, la dimensión correspondiente. Nos limitaremos a 6 dimensiones para que el cuadro sea sencillo y manejable, pero se puede extender con los mismos métodos usados aquí en forma indefinida. En las filas nos referiremos a los trazos o figuras espaciales regulares (usando la letra m, por magnitud), esto es, líneas, cuadrados, cubos, y teseracts. La tabla será, por tanto, de 4 por 6, indicando en cada fila la magnitud correspondiente, y en las columnas el número de dimensión a que se refiere. Con ello quedan definidas las bases para comprender a un nivel más o menos completo, los diversos cuerpos geométricos que se forman de la primera a la cuarta magnitud, en el espacio de 1 a 6 dimensiones.
Comencemos con la primera línea de la tabla, esto es la primera magnitud. Aquí estarán las líneas requeridas para cada dimensión. La fórmula algebraica que proponemos es la siguiente:
S1(n) = 2n n/2
Adonde el subíndice 1 denota la primera magnitud m, esto es, la de las líneas. Definimos a la fórmula marginal como la diferencia entre el valor de S1(n+1) y S1(n), y la denotamos por €(n). Así:
€1(n) = (2n+1 (n+1)/2) – (2n n/2) = 2n (2(n+1)/2)-(n/2)) = 2n-1 (2n+2-n) =
€1(n) = 2n-1 (n+2)
Para el caso de la dimensión 1, tenemos:
€1(1) = 21-1 (1+2) = 3
Como S1(1) = 2n n/2 = 2 (1/2) = 1, lo que se deriva de aquí es que, para la magnitud 1, o sea, la líneal, existe la línea en la dimensión 1, y 3 líneas más para la magnitud 2, lo que daría como resultado que los cuadrados (magnitud 2) se forman con 4 líneas. La primera de ellas pertenece a la magnitud 1, la lineal, y las 3 restantes son las definidas por la función marginal €(1) = 3, que nos daría el total de 4 líneas que conforman un cuadrado. Calculemos el resto de las líneas para cada magnitud:
€1(2) = 22-1 (2+2) = 8
€1(3) = 23-1 (3+2) = 20
€1(4) = 24-1 (4+2) = 48
€1(5) = 25-1 (5+2) = 112
€1(6) = 26-1 (6+2) = 256
El significado es el siguiente: se requieren 12 líneas para formar un cubo, 32 para formar un teseract, 80 para un penteract, 192 para un hexeract y 448 para un hepteract.
Esto suena prometedor, así que pasemos a la segunda magnitud, esto es, a los cuadrados. La fórmula propuesta es la siguiente:
S2(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4))
En donde el subíndice 2 denota la segunda magnitud m, la de los cuadrados. De nuevo, definimos la fórmula marginal como €2(n) = S2(n+1) y S2(n), ahora, en la magnitud 2. El lector puede comprobar fácilmente que:
€2(n) = 2nn/8 (n+3)
Ahora bien:
S2(1) = 21 (1/2) ((1-1)/4)) = 0
Esto significa que hay 0 cuadrados en la primera dimensión. Continuamos con la segunda dimensión usando la función marginal.
€2(1) = 21(1)/8 (1+3) = 1
Lo que significa que se forma un cuadrado en la magnitud 2, de los cuadrados, en la dimensión 2 (la dimensión plana).
Si queremos saber cuántos cuadrados se formarán en la dimensión 3 calculamos €(2):
€2(2) = 22(2)/8 (2+3) = 5
Lo que significa que habrá 6 cuadrados en la dimensión 3, esto es, la de los cubos. En otras palabras, esto nos dice que los cubos tienen 6 cuadrados.
Ya envalentonados podemos preguntarnos cuántos cuadrados tiene un teseract, esto es, el análogo al cubo en la cuarta dimensión:
€2(3) = 23(3)/8 (3+3) = (24/8)(6) = 18
Lo que significa que hay 24 cuadrados en un teseract. Continuamos con el resto de las dimensiones:
€2(4) = 24(4)/8 (4+3) = 56
€2(5) = 25(5)/8 (5+3) = 160
€2(6) = 26(6)/8 (6+3) = 432
La interpretación se la dejamos al lector.
Bueno, todo va bien, así que continuemos con la tercera magnitud m, esto es, la de los cubos. La función propuesta, que el lector atento habrá imaginado es:
S3(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6))
La función marginal sería:
€3(n) = 2nn/48 (n-1)(n+4)
Por consiguiente, podemos calcular fácilmente el número de cubos en las 5 dimensiones, así:
€3(1) = 21(1)/48 (1-1)(1+4) = 0
€3(2) = 22(2)/48 (2-1)(2+4) = 1
€3(3) = 23(3)/48 (3-1)(3+4) = 7
€3(4) = 24(4)/48 (4-1)(4+4) = 32
De manera que un cubo se forma en la tercera dimensión, se requieren 8 cubos para formar un teseract, y hay 40 cubos en un penteract, esto es, el análogo del teseract en quinta dimensión, o sea, un hipercubo en quinta dimensión.
€3(5) = 25(5)/48 (5-1)(5+4) = 120
€3(6) = 26(6)/48 (6-1)(6+4) = 400
Esto es, hay 160 cubos en un hexeract, y 560 cubos en un hepteract.
Ahora ya podemos atrevernos a enfrentarnos a los teseracts, esas famosas y extrañas figuras que son el equivalente al cubo en la cuarta dimensión. Si estiramos un cubo hacia arriba, saliendo por una de sus aristas, se nos formará la versión aplanada a la tercera dimensión de un teseract. Con un poco de imaginación se podrá visualizar que se compone de 8 cubos, el inicial, el final, y los 6 que se forman saliendo por cada uno de los lados o cuadrados que conforman el cubo.
Hagamos un paréntesis para comprender un poco más el teseract, puesto que es la figura imaginaria que se acomoda mejor a la comprensión de nuestros sentidos, diseñados para el nivel tridimensional, y no para comprender el nivel de cuatro dimensiones, que de alguna manera aparece como contraintuitivo, puesto que nosotros vivimos en un mundo aparente de tercera dimensión, si bien a partir de esta misma lectura se puede hipotetizar que la cuarta dimensión es el tiempo, por lo que los teseracts serían parte normal de nuestro mundo real aunque no acabemos del todo de comprenderlos, ni podamos mirarlos directamente, por una cuestión puramente de perspectiva.
Al respecto, hagamos un intento de representación del teseract en un mundo tridimensional. Esto tiene una gran importancia práctica puesto que hay controversia sobre si se ha podido comprender plenamente el significado y forma de un teseract, o si se trata de una cuestión puramente imaginaria, a la manera de un fantasma.
Nuestra hipótesis es que el teseract es un objeto difícil de imaginar, pero posible de representar en forma simple. Vamos a representar el teseract en una sola tabla plana de 12 por 12 y con el uso de símbolos que representan, cada uno, un cubo o habitación.
TABLA PARA REPRESENTAR EL TESERACT APLANADO
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∞ Ω π µ ∞ Ω π µ ∞ Ω π µ
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π µ π µ π µ π µ π µ π µ
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∞ Ω π µ ∞ Ω π µ ∞ Ω π µ
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∞ Ω π µ ∞ Ω π µ ∞ Ω π µ
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π µ π µ π µ π µ π µ π µ
Usamos símbolos que simulan habitaciones o cuartos para poder hacer la representación aquí, si bien lo más recomendable sería asignar un color o una figura a cada cubo o habitación. De paso, podemos decir que esta representación podría tener cierto valor estético, o para el arte arquitectónico, pero eso sería tema para otra discusión.
La estructura contiene 8 cubos distintos que forman un teseract, estableciendo las conexiones entre las habitaciones en forma clara y contundente. De hecho, se trata de un mosaico de 9 cuadrantes de 4 por 4 habitaciones. Los colores y símbolos son completamente intercambiables entre sí, mientras se respete la estructura general.
En suma: la tabla permite comprender al Teseract en forma fácil y bajo una perspectiva plana.
Regresando al cuerpo principal del presente trabajo, podemos ahora estudiar las primeras 6 dimensiones del teseract. Como habrán imaginado la fórmula inicial será:
S4(n) = 2n (n/2) ((n-1)/4)) ((n-2)/6)) ((n-3)/8))
Donde el subíndice 4 denota la cuarta magnitud m, esto es, la de los teseracts. La función marginal que se deriva de aquí es:
€4(n) = (2nn/384) (n-1)(n-2)(n+5)
Por consiguiente, podemos calcular fácilmente el número de teseracts en las 6 dimensiones, así:
€4(1) = (21(1)/384) (1-1)(1-2)(1+5) = 0
€4(2) = (22(2)/384) (2-1)(2-2)(2+5) = 0
€4(3) = (23(3)/384) (3-1)(3-2)(3+5) = 1
€4(4) = (24(4)/384) (4-1)(4-2)(4+5) = 9
€4(5) = (25(5)/384) (5-1)(5-2)(5+5) = 50
€4(6) = (26(6)/384) (6-1)(6-2)(6+5) = 220
De manera que un teseract se forma en la cuarta dimensión, que para muchos representa al tiempo, además: se requieren 10 teseracts para formar un penteract, hay 60 teseracts en un hexeract, y hay 280 teseracts en un hepteract, esto es, el análogo del teseract en séptima dimensión, o sea, un hipercubo en sexta dimensión.
En la explicación que hemos dado está implícita la prueba matemática por inducción, de una manera que parece a simple vista estricta. Si tomamos los valores específicos de €(X), donde X es un número cualquiera, se pueden verificar las fórmulas sin ningún problema. Además, si tomamos Sm(n) y le sumamos €m(n+1), tendremos como resultado, necesariamente Sm(n+1). Por tanto, la prueba de las fórmulas por inducción me parece completa, aunque todavía podría revisarse con más calma.
El número n puede ser cualquier dimensión hasta el infinito, se comenzaría por verificar que las fórmulas Sm(n) y €m(n) también funcionan en las siguientes dimensiones, hasta llegar a números grandes. La prueba al infinito podría ser resuelta a través del límite de n hasta el infinito en las respectivas funciones. Eso parece que sólo requiere de paciencia.
Me preocupa más el problema de la interpretación, puesto que cabe cuestionar sobre la existencia de las figuras en la realidad, o de si se trata de pura especulación virtual. Al respecto, hasta el nivel del cubo no veo ningún problema: la prueba evidente es la existencia de la línea, el cuadrado y el cubo, y la utilidad práctica que tienen. En el nivel de la cuarta dimensión, pareciera que el teseract se refiere al tiempo, puesto que implica el movimiento del cubo, aunque eso tendría que argumentarse con más calma. Dejo en duda la existencia o no en la realidad del teseract, pero quiero aclarar que si el mundo fuera tridimensional no tendría movimiento, así que el teseract puede ser la solución al famoso problema de la existencia del tiempo. Eso es una mera sugerencia puesto que la prueba escapa a mis posibilidades analíticas y, sobre todo, de abstracción (creo que ni siquiera Kant o, más recientemente Hawking pudieron resolver estrictamente el problema del tiempo, este artículo no pretende llegar a tales complejidades, sino sólo plantearlas).
Por lo pronto, veo que el teseract aplanado en términos simbólicos puede tener valor arquitectónico y para la comprensión de figuras en cuarta dimensión, tema que tendría que ser analizado y verificado junto con los profesionales de la psicología, puesto que parece muy extraño que criaturas que sólo perciben objetos tridimensionales puedan comprender completamente un objeto en cuarta dimensión.
== Historia ==
El término hipercubo fue acuñado por primera vez en [[1888]] por el matemático inglés [[Charles Howard Hinton]] en una obra llamada ''A New Era of Thought'', especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.
Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común.
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