Diferencia entre revisiones de «Cantidad de movimiento»
Contenido eliminado Contenido añadido
/* Mecánica gay |
Revertidos los cambios de 200.1.20.159 a la última edición de JMCC1 usando monobook-suite |
||
Línea 80:
</br>
Donde <math>\mathbf{r}_i,\dot\mathbf{r}_i</math> son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula ''i''-ésima medidas por un observador inercial.
===Mecánica lagrangiana y hamiltoniana===
En [[mecánica lagrangiana]] «''si el lagrangiano no depende explícitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo''», resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservación para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecánico tiene un lagrangiano tiene ''n'' grados de libertad y su lagrangiano no depende una de ellas, por ejemplo la primera de ellas, es decir:</br>
</br>
:<math>L:U\subset \R^{2n} \to \R, \qquad (\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) \mapsto L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = \sum_{i,j} \dot{q}_i\frac{g_{ij}(q_2,...,q_n)}{2}\dot{q}_j \ - \ V(q_2,...,q_n)</math>
</br>
En ese caso, en virtud de las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] existe una magnitud conservada <math>p_1\,</math> que viene dada por:</br>
</br>
:<math> 0 = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_1} = \frac{d}{dt}\left(\sum_j g_{ij}\dot{q}_j\right) \ - \ 0 \Rightarrow
p_1 = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_1} = \sum_j g_{ij}\dot{q}_j = \mbox{constante}
</math>
</br>
Si el conjunto de [[coordenadas generalizadas]] usado es [[Coordenadas cartesianas|cartesiano]] entonces el [[tensor métrico]] es la [[delta de Kronecker]] <math>g_{ij}(q_2,...,q_n) = \delta_{ij}</math> y la cantidad <math>p_1\,</math> coincide con el momento lineal en la dirección dada por la primera coordenada.
En [[mecánica hamiltoniana]] existe una forma muy sencilla de ver determinar si una función que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservación en términos del [[paréntesis de Poisson]]. Para determinar esa expresión calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:</br>
</br>
:<math> \frac{df(\mathbf{p},\mathbf{q})}{dt} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot{q}_i + \frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right) = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} + \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \{f,H\}_{pq}</math>
</br>
A partir de esa expresión podemos ver que para «''un momento generalizado se conservará constante en el tiempo, si y sólo si, el hamiltoniano no depende explícitamente de la coordenada generalizada conjugada''» como se puede ver:</br>
</br>
:<math>0 = \frac{dp_j}{dt} = \{p_j,H\}_{pq} = \sum_i\left( 0 \cdot \frac{\partial H}{\partial p_i} + \delta_{ij}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}</math>
</br>
===Mecánica relativista===
| |||