Diferencia entre revisiones de «Número primo»
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== Historia de los números primos ==
=== Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia ===
[[Archivo:Ishango bone.jpg|thumb|250px|El [[hueso de Ishango]].]]
Las muescas presentes en el [[hueso de Ishango]], que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición de la [[escritura]]) y que fue hallado por el arqueólogo [[Jean de Heinzelin de Braucourt]]<ref>[[Marcus du Sautoy]], ''La symphonie des nombres premiers'' P.42 (en francés)</ref> parecen aislar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de los números primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía realmente el hombre de aquella época.<ref>''[http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Keller/Keller3.pdf Préhistoire de la géométrie: le problème des sources]'', artículo de Olivier Keller (en francés)</ref>
Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en [[Mesopotamia]] a lo largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época. Los cálculos requerían conocer los [[inverso multiplicativo|inversos]] de los naturales, que también se han hallado en tablillas.<ref>{{cita web
|url = http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/Nacimiento.html
|título = Nacimiento de las matemáticas.
|autor =
|fechaacceso = 7 de Junio
|añoacceso = 2009
}}</ref>
En el [[sistema sexagesimal]] que empleaban los [[Babilonia|babilonios]] para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60 (''números regulares'') se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la [[factorización]] de los naturales.
En las [[Matemáticas en el Antiguo Egipto|matemáticas egipcias]], el cálculo de [[fracción|fracciones]] requería conocimientos sobre las operaciones, la división de naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas [[fracción egipcia|fracciones egipcias]], suma de [[fracción unitaria|fracciones unitarias]], es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como <math>\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dots</math>, por lo que las fracciones de numerador distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición <math>\left( \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6} \right .</math> en lugar de <math>\left . \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3} \right)</math>.<ref>{{cita libro
| autor = Arnaldez, Roger y otros
| título = Las antiguas ciencias del Oriente.
| año = 1988
| editorial = Barcelona: Ediciones Orbis S.A.
| ISBN = 84-402-0159-1
}}</ref> Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.<ref>{{cita web
|url = http://planetmath.org/encyclopedia/HistoryOfPrimeNumbers.html
|título = History of prime numbers.
|fechaacceso = 7 de junio
|añoacceso = 2009
|autor = Planetmath.org
}}</ref>
=== Antigua Grecia ===
La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y se encuentra en los ''[[Elementos de Euclides|Elementos]]'' de [[Euclides]] (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay infinitos de ellos, define el [[máximo común divisor]] y el [[mínimo común múltiplo]] y proporciona un método para determinarlos que hoy en día se conoce como el [[algoritmo de Euclides]]. Los ''Elementos'' contienen asimismo el [[teorema fundamental de la aritmética]] y la manera de construir un [[número perfecto]] a partir de un [[número primo de Mersenne]].
La [[criba de Eratóstenes]], atribuida a [[Eratóstenes de Cirene]], es un método sencillo que permite encontrar números primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean otros algoritmos más rápidos y complejos.
=== Matemáticas modernas ===
[[Archivo:Pierre de Fermat.jpg|230px|thumb|[[Pierre de Fermat]].]]
Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En [[1640]] [[Pierre de Fermat]] estableció (aunque sin demostración) el [[pequeño teorema de Fermat]], posteriormente demostrado por [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] y [[Leonhard Euler|Euler]]. Es posible que mucho antes se conociera un caso especial de dicho teorema en China.<br />
Fermat conjeturó que todos los números de la forma 2<sup>2<sup>''n''</sup></sup>+1 eran primos (debido a lo cual se los conoce como [[número de Fermat|números de Fermat]]) y verificó esta propiedad hasta ''n'' = 4 (es decir, 2<sup>16</sup> + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat 2<sup>32</sup> + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641), como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte de los que ya conocía el propio Fermat.<br />
El monje francés [[Marin Mersenne]] investigó los números primos de la forma 2<sup>''p''</sup> − 1, con ''p'' primo. En su honor, se los conoce como [[número de Mersenne|números de Mersenne]].
En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos. Demostró la [[divergencia de la suma de los inversos de los números primos|divergencia]] de la [[suma infinita|serie]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\dots</math>, y en 1747 demostró que todos los [[número perfecto|números perfectos]] pares son de la forma 2<sup>''p''-1</sup>(2<sup>''p''</sup> - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.
A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando ''n'' tiende a infinito, el número de primos menores o iguales que ''n'' es asintótico a <math>\tfrac{n}{\ln (n)}</math>, donde ln(''n'') es el [[logaritmo natural]] de ''n''. Las ideas que [[Bernhard Riemann]] plasmó en un trabajo de 1859 sobre la [[función zeta de Riemann|función zeta]], describieron el camino que conduciría a la demostración del [[teorema de los números primos]]. [[Jacques Hadamard|Hadamard]] y [[Charles-Jean de la Vallée Poussin|De la Vallée-Poussin]], cada uno por separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.
Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por [[división por tentativa|divisiones sucesivas]], al menos no si el número es relativamente grande.
Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el [[test de Lucas-Lehmer]], desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el [[test de Pépin]] para los números de Fermat (1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente factorizado se denomina [[test de Lucas]].
Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1. Ejemplos de de estos algoritmos son el [[Teorema de Proth|test de Proth]] (desarrollado alrededor de 1878) y el [[test de Pocklington]] (1914). En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz cuadrada de ''p''. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el [[test BLS de primalidad]] que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de ''p''. El mejor método conocido de esta clase es el [[test de Konyagin y Pomerance]] del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que ''p''<sup>3/10</sup>.<ref>{{cita libro| apellidos = Crandall| nombre = Richard| título = Prime numbers, a computational perspective| año = 2001| editorial = Nueva York: Springer-Verlag| id = ISBN 0-387-94777-9}}</ref><ref>{{Cita web|apellido=Bernstein|nombre=Daniel|título=Prime tests|url=http://cr.yp.to/primetests.html|fechaacceso=1 de julio de 2009}}</ref>
A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el [[test de Adleman-Pomerance-Rumely|test APRT-CL]] (desarrollado en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan los factores de p<sup>m</sup>-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, el [[test de primalidad por curvas elípticas]] (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L. Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el [[test de primalidad AKS]] (2002) que si bien su complejidad es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.
Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la [[matemática pura]]<ref>{{cita libro
| apellidos = Singh
| nombre = Simon
| enlaceautor = Simon Singh
| título = El enigma de Fermat
| año = 1998
| editorial = Editorial Planeta S.A
| id = ISBN 978-84-08-02375-3.
| capítulo= Pag. 126
}}</ref><ref>
{{cita web
|url = http://pinux.info/primos/curiosidades.html
|título = Curiosidades sobre números primos.
|fechaacceso = 5 de junio
|añoacceso = 2009
|autor = Carles Pina i Estany
|año = 2005
}}
</ref>
. Esto cambió en los [[años 1970]] con el desarrollo de la [[criptografía de clave pública]], en la que los números primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo [[RSA]].
Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de [[ordenador]]es. La búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. En los últimos años han ganado popularidad proyectos de [[computación distribuida]] tales como el [[GIMPS]], mientras los matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.
== Primalidad del 1 ==
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