Diferencia entre revisiones de «Pirámide (geometría)»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
m Revertidos los cambios de 190.234.156.116 a la última edición de Chico512 |
||
Línea 1:
{{otros usos|Pirámide}}
[[Archivo:Pyramid (geometry).png|thumb|Pirámide cuadrangular.]]
[[Archivo:Diagrama Piramide.jpg|thumb|Piramide rectangular. Los [[vértice (geometría)|vértices]] están marcados en naranja y las [[arista]]s en rojo. La linea amarilla una [[diagonal]] de la base.]]
Una '''pirámide''' es un [[poliedro]] limitado por una [[base]], que es un [[polígono]] cualquiera; y por [[cara]]s, que son [[triángulo]]s y coinciden en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado en ocasiones ''vértice de la pirámide'', aunque la pirámide tiene más [[vértice (geometría)|vértices]].
== Tipos de pirámides ==
Una '''pirámide recta''' es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son [[triángulo isósceles|triángulos isósceles]]. En este tipo de pirámides la recta [[perpendicular]] a la base que pasa por el ápice corta a la base por su [[circuncentro]].
Una '''pirámide oblícua''' es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.
Una '''pirámide regular''' es una pirámide recta cuya base es un [[polígono regular]].
Una '''pirámide cónvexa''' tiene como base un [[polígono convexo]] y una '''pirámide cóncava''' tiene como base un [[polígono cóncavo]].
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son [[triángulo equilátero|triángulos equiláteros]], con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un [[tetraedro]] es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.
=== Pirámides según el número de lados de su base ===
Las pirámides se clasifican según el número de lados de su base, que coincide con el número de caras laterales.
{| class="wikitable col1cen"
|-
!Número de lados de la base||Tipo de pirámide||Polígono que forma la base
|-
|3||Pirámide triangular||[[Triángulo]]
|-
|4||Pirámide cuadrangular||[[Cuadrado]]
|-
|4||Pirámide rectangular||[[Rectángulo]]
|-
|5||Piramide pentagonal||[[Pentágono]]
|-
|6||Piramide hexagonal||[[Hexágono]]
|-
|7||Piramide heptagonal||[[Heptágono]]
|-
|8||Piramide octagonal||[[Octágono]]
|-
|9||Piramide eneagonal||[[Eneágono]]
|}
== Área de una pirámide ==
=== Área de un polígono regular ===
[[Archivo:Hexagon Octagon.svg|thumb|Partición de [[polígono regular|polígonos regulares]] en [[triángulo isósceles|triángulos isósceles]].]]
[[Archivo:Apothem2.svg|thumb|La línea roja es un [[apotema]] de este [[octógono]].]]
El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de ''n'' lados puede dividirse en ''n'' [[triángulo]]s isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un [[apotema]] del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en ''2n'' triángulos rectángulos.
El área del polígono regular (''A<sub>b</sub>'') es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (''A<sub>t</sub>''):
{{ecuación|<math> A_b = 2 \cdot n \cdot A_t = 2 \cdot n \cdot \frac{\frac{l}{2} \cdot a}{2} = \frac{n}{2} \cdot l \cdot a</math>||left}}
Donde ''a'' es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la [[trigonometría]].
{{ecuación|<math> A_b = \frac{n}{2} \cdot l \cdot \frac{l}{\tan( \alpha )} = \frac{n}{2} \cdot l^2 \cdot \cot ( \alpha )</math>||left}}
Donde ''α'' es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular. El valor de este ángulo resulta de dividir el [[ángulo#ángulo completo|ángulo completo]] (''2π'') por el número de triángulos rectángulos (''2n''), luego <math>\alpha = 2 \pi / 2 n = \pi / n</math>.
{{ecuación|<math>A_b = \frac{n}{2} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) </math>|1|left}}
=== Área lateral de una pirámide ===
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.
En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide ''l'' ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ''a<sub>p</sub>'' ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.
{{ecuación|<math>A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} = \frac{p\cdot a_p}{2} </math>|2|left}}
Donde ''a<sub>p</sub>'' es el apotema de la pirámide y ''p'' es el [[perímetro]] de la base.
[[Archivo:Pythsats.jpg|thumb|[[Teorema de Pitágoras]].<br />
Altura de la pirámide: ''h'' = ''a''.<br />
Apotema de la base: ''a<sub>b</sub>'' = ''b''.<br />
Apotema de la pirámide: ''a<sub>p</sub>'' = ''c''.]]
El apotema de la pirámide (''a<sub>p</sub>'') puede calcularse a partir del apotema de la base (''a<sub>b</sub>'') y de la altura de la pirámide (''h'') aplicando el [[teorema de Pitágoras]].
{{ecuación|<math>a_p^2 = a_b^2 + h^2</math>||left}}
=== Área total de una pirámide ===
El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.
{{ecuación|<math>A = A_b + A_l</math>|3|left}}
En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base {{eqnref|1}} y el área lateral {{eqnref|2}} en la ecuación {{eqnref|3}}, se obtiene:
{{ecuación|<math>A= \frac{n}{2} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + \frac{p\cdot a_p}{2} </math>||left}}
== Volumen ==
El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante [[cálculo diferencial]]. El [[área]] de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (''A<sub>b</sub>'') y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia (''d'') es la diferencia entre la altura de la pirámide (''h'') y altura del plano de corte (''z'').
{{ecuación|<math>d = h - z</math>||left}}
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura ''z'' por encima de la base es
{{ecuación|<math> A \left(z\right) = A_b \ \frac{d^2}{h^2} = A_b \ \frac{(h - z)^2}{h^2}</math>||left}}
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
{{ecuación|<math> V = \int_0^h A \left(z\right)\ d z = A_b \int_0^h \frac{(h - z)^2}{h^2}\ d z = -A_b \frac{(h-z)^3}{3h^2} \bigg|_0^h</math>||left}}
{{ecuación|<math> V = \frac{1}{3}\ A_b \ h </math>|4|left}}
Esta fórmula también es válida para el [[cono]], ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.
=== Volumen de una pirámide regular ===
El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base ''A<sub>b</sub>'' {{Eqnref|1}} en la ecuación del volumen de la pirámide {{Eqnref|4}} se obtiene:
{{ecuación|<math> V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{2} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot \ h </math>||left}}
{{ecuación|<math> V = \frac{n}{6} \cdot l^2 \cdot h \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )</math>||left}}
== Centro de gravedad de una pirámide ==
El [[centro de gravedad]] de una pirámide de [[densidad]] uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.<ref>Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), ''Mecánica para ingenieros'', Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.</ref>
{{ecuación|<math>z_G = \frac{h}{4}</math>||left}}
== Referencias ==
{{listaref}}
== Véase también ==
*[[pirámide]]
*[[Tetraedro]]
*[[Eudoxo de Cnidos]]
*[[Bipirámide]] ([[unión]] de dos pirámides por sus bases)
[[Categoría:Prismatoides]]
[[Categoría:Poliedros autoduales]]
[[az:Piramida]]
[[bg:Пирамида]]
[[bs:Piramida (geometrija)]]
[[ca:Piràmide]]
[[cs:Jehlan]]
[[de:Pyramide (Geometrie)]]
[[el:Πυραμίδα (γεωμετρία)]]
[[en:Pyramid (geometry)]]
[[eo:Piramido (geometrio)]]
[[eu:Piramide (geometria)]]
[[fi:Pyramidi (geometria)]]
[[fr:Pyramide]]
[[he:פירמידה (גאומטריה)]]
[[hi:पिरामिड आकार]]
[[hr:Piramida (geometrija)]]
[[hu:Gúla]]
[[id:Limas]]
[[it:Piramide#Geometria]]
[[ja:角錐]]
[[kk:Пирамида (геометрия)]]
[[km:ពីរ៉ាមីត]]
[[ko:각뿔]]
[[la:Pyramis (geometria)]]
[[lv:Piramīda]]
[[mk:Пирамида]]
[[nds:Pyramied (Geometrie)]]
[[nl:Piramide (ruimtelijke figuur)]]
[[nn:Pyramide]]
[[no:Pyramide]]
[[pl:Ostrosłup]]
[[pt:Pirâmide]]
[[qu:Chuntu]]
[[ru:Пирамида (геометрия)]]
[[sk:Ihlan]]
[[sl:Piramida (geometrija)]]
[[sr:Пирамида (геометрија)]]
[[su:Limas]]
[[sv:Pyramid (geometri)]]
[[ta:பட்டைக்கூம்பு]]
[[th:พีระมิด (เรขาคณิต)]]
[[tr:Piramit (geometri)]]
[[uk:Піраміда (геометрія)]]
[[zh:棱锥]]
| |||