Diferencia entre revisiones de «Movimiento parabólico»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 189.143.68.129 a la última edición de Diegusjaimes |
|||
Línea 14:
#Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.
== Ecuaciones del movimiento parabólico ==
[[Image:Tir parabòlic.png|right]]
Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
# <math> \mathbf{v_0} = v_0 \, \cos{\phi} \, \mathbf{i} + v_0 \, \sin{\phi} \, \mathbf{j} </math>
# <math> \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j} </math>
donde:
:<math> v_0 \, </math> es el módulo de la velocidad inicial.
:<math> \phi \, </math> es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
:<math> g \, </math> es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
:<math> v_0 \, \cos{\phi} </math> que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
:: En lo sucesivo <math> v_{0x} \, </math>
:<math> v_0 \, \sin{\phi} </math> que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
::En lo sucesivo <math> v_{0y} \, </math>
Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:
: <math> \mathbf{v_0} = v_{0x} \, \mathbf{i} + v_{0y} \, \mathbf{j} </math> : [ecu. 1]
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.
=== Ecuación de la aceleración ===
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
: <math> \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j} </math>
que es vertical y hacia abajo.
=== Ecuación de la velocidad ===
La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:
{{Ecuación|<math>
\begin{cases}
\mathbf{a} = \cfrac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \mathbf{i} \\
\mathbf{v}(0) = v_{0x}\mathbf{i}+v_{0y}\mathbf{j}
\end{cases}
</math>||left}}
La integración es muy sencilla por tratarse de una [[ecuación diferencial de primer orden]] y el resultado final es:
{{Ecuación|<math>
\mathbf{v}(t) = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j}
</math>||left}}
{{Plegable|título=Derivación de las ecuación de la velocidad |contenido=
<div align="left">
Partimos del valor de la aceleración de la gravedad y de la definición de aceleración
{{Ecuación|<math> \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j} </math>||}}
y tenemos
{{Ecuación|<math>\mathbf a = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \, \mathbf{j} </math>||}}
Separamos variables
{{Ecuación|<math> {d\mathbf{v}} = -g \, \mathbf{j} \, {dt} </math>||}}
y pasamos a la integración
{{Ecuación|<math>
\int_{v_0}^{v} d\mathbf{v} =
\int_{0}^{t}{-g\,\mathbf{j}\,dt} =
-g\,{\mathbf{j}\int_{0}^{t}\,dt}
</math>||}}
efectuamos las integrales
{{Ecuación|<math>
\mathbf{v}-\mathbf{v_0}=-g\,\mathbf{j}\,t
\qquad\Rightarrow\qquad
\mathbf{v}=-g\,\mathbf{j}\,t+\mathbf{v_0}
</math>||}}
sustituimos <math> \mathbf{v_0} </math> [ecu. 1], por su valor
{{Ecuación|<math>
\mathbf{v}=-g\,\mathbf{j}\,t+v_{0x}\,\mathbf{i} +v_{0y}\,\mathbf{j}
\qquad\Rightarrow\qquad
\mathbf{v}=v_{0x}\,\mathbf{i}+(v_{0y}-g\,t)\,\mathbf{j}
</math>||}}
</div>}}
Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.
=== Ecuación de la posición ===
[[Image:Casting obliquely.gif|right]]
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:
{{Ecuación|<math>
\begin{cases}
\mathbf{v} = \cfrac{d\mathbf{r}}{dt} = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j} \\
\mathbf{r}(0) = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j}
\end{cases}
</math>||left}}
La integración es muy sencilla por tratarse de una [[ecuación diferencial de primer orden]] y el resultado final es:
{{Ecuación|<math>
\mathbf{r}(t) =
(v_{0x} \; {t} + x_0)\, \mathbf{i} +
\left (
- \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t+ y_0
\right)
\, \mathbf{j}
</math>||left}}
{{Plegable|título=Derivación de las ecuación de la posición |contenido=
<div align="left">
Partiendo del valor de la velocidad y de la definición de velocidad, calculamos el vector de posición así
# <math> \mathbf{v} = v_{0x} \, \mathbf{i} + (-g \, t + v_{0y}) \, \mathbf{j} </math>
# <math> \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} </math>
tenemos:
: <math> \frac{d\mathbf{r}}{dt} = v_{0x} \, \mathbf{i} + (-g \, t + v_{0y}) \, \mathbf{j} </math>
esto es:
: <math> {d\mathbf{r}} = (v_{0x} \, \mathbf{i} + (-g \, t + v_{0y}) \, \mathbf{j}) {dt} </math>
integrando:
: <math>
\int_{r_0}^{r} {d\mathbf{r}} =
\int_{0}^{t} (v_{0x} \, \mathbf{i} +
(-g \, t + v_{0y}) \, \mathbf{j}) {dt}
</math>
descomponiendo la integral:
: <math>
\int_{r_0}^{r} {d\mathbf{r}} =
\int_{0}^{t} v_{0x} \, \mathbf{i} \, {dt} -
\int_{0}^{t} g \, t\, \mathbf{j} \, {dt} +
\int_{0}^{t} v_{0y} \, \mathbf{j} \, {dt}
</math>
sacando términos constantes de la integral:
: <math>
\int_{r_0}^{r} {d\mathbf{r}} =
v_{0x} \, \mathbf{i} \int_{0}^{t} \, {dt} -
g\, \mathbf{j}\int_{0}^{t} \, t \, {dt} +
v_{0y} \, \mathbf{j}\int_{0}^{t} \, {dt}
</math>
realizando la integral:
: <math>
\mathbf{r} - \mathbf{r_0} =
v_{0x} \, \mathbf{i} \, {t} -
g\, \mathbf{j}\, \left( \frac{1}{2} {t^2} \right ) +
v_{0y} \, \mathbf{j} \, t
</math>
ordenando términos:
: <math>
\mathbf{r} =
v_{0x} \; {t} \, \mathbf{i} +
\left(- \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t \right) \, \mathbf{j} +
\mathbf{r_0}
</math>
donde <math> \mathbf{r_0} </math> es el vector de posición del móvil para el instante t = 0, podemos dividirlo según sus componentes en:
: <math> \mathbf{r_0} = x_0 \mathbf{i} + y_0 \mathbf{j} </math>
que sustituyéndolo en la ecuación resulta:
: <math>
\mathbf{r} =
v_{0x} \; {t} \, \mathbf{i} +
\left(- \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t \right) \, \mathbf{j} +
x_0 \mathbf{i} + y_0 \mathbf{j}
</math>
y ordenando, por fin:
: <math>
\mathbf{r} =
(v_{0x} \; {t} + x_0)\, \mathbf{i} +
\left(- \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t+ y_0 \right) \, \mathbf{j}
</math>
</div>
}}
| |||