Diferencia entre revisiones de «Potenciación»
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La '''potenciación''' es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base ''a'' y exponente ''n''.
Se escribe a<sup>n</sup>, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:
*Cuando el exponente es un número natural, equivale a [[multiplicar]] un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.
:<math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,</math>
Por ejemplo: <math> 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 </math>.
*cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
:<math>a^{-p}= \frac{1}{a^p}</math>
*cuando el exponente es una fracción irreducible ''n/m'', equivale a una raíz:
:<math> a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n} </math>
Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0<sup>0</sup> que, en principio, es una indefinición (ver [[Cero#Cero en la potenciación|cero]]).
La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.
== Propiedades de la potenciación ==
Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:
=== Potencia de exponente 0 ===
Una de las definiciones de la potenciación, por [[recursión]], es la siguiente:
:<math> x^1 = x </math>
:<math> x^a = x \cdot x^{a-1} </math>
Si en la segunda expresión se toma ''a''=1, se tiene que ''x''¹ = ''x''·''x''<sup>0</sup>. Al dividir los dos términos de la igualdad por ''x'' (que se puede hacer siempre que ''x'' sea distinto de 0), queda que ''x''<sup>0</sup>=1.
Así, toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1
pero '''a''' debe pertenecer a los reales
:<math>a^0 = 1 \,</math>
:<math>0^0</math> no es una indeterminación dado que no estamos hablando del límite de una función (sucesión) sino que hablamos de un escalar (número).
:<math>0^0=1</math>
=== Potencia de exponente 1 ===
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
:<math>a^1 = a \,</math>
ejemplo:
:<math>54^1=54 \,</math>
=== Producto de potencias de igual base ===
El producto de dos o más potencias de igual base '''a''' es igual a la potencia de base '''a''' y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes.Se coloca la misma base y se suman los exponentes:
:<math> a^m \cdot a^n = a^{m + n} </math>
ejemplos:
:<math> 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5</math>
todo número a la potencia 0 es igual a 1
ejemplos:
:<math> 5^0 = 1 </math>
===Cociente de Potencias de Igual Base ===
La división de dos potencias de igual base '''a''' es igual a la potencia de base '''a''' y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.
:<math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}</math>
=== Potencia de un producto ===
La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n".
:<math>(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n</math>
=== Potencia de una potencia ===
La potencia de una potencia de base '''a''' es igual a la potencia de base '''a''' elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.
Así se obtiene esta potencia
:<math> (a^m)^n = a^{m \cdot n} </math>
=== Propiedad distributiva ===
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
a1-96 a4
Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:
:<math> (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n </math>
:<math> \Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n} </math>
=== Propiedades que no cumple la potenciación ===
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:
:<math>(a + b)^m \neq a^m + b^m </math>
:<math>(a - b)^m \neq a^m - b^m </math>
No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general, <math>a^b \neq b^a </math>
Tampoco se cumple la propiedad asociativa:
:<math>a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}.</math>
=== Potencia de base 10 ===
Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Ejemplo: 10^2=100. 10^5=100.000
== Potencia de números complejos ==
Para cualquiera de los números reales <math>a,b,c,d \,</math> se tiene la identidad:
:<math>\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left( c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}</math>
== Gráfico ==
[[Archivo:Qfunction.png|thumb|gráfico de <math>Y = X^2</math>]]
El gráfico de una potencia par tiene la forma de una [[Parábola (matemáticas)|parábola]]. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones
Dicho gráfico es [[Continuidad (matemática)|continuo]] y [[Derivada|derivable]] para todos los reales.
[[Archivo:X cubed plot.svg|thumb|gráfico de <math>Y = X^3</math>]]
Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.
== Véase también ==
*[[Radicación]]
*[[Exponenciación]]
== Enlaces externos ==
*[http://www.necesitomas.com/index.php?q=node/58 Potenciación en Excel]
*[http://enciclopedia.us.es/index.php/Potenciaci%C3%B3n Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español]
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[[Categoría:Operaciones básicas de la aritmética]]
[[Categoría:Álgebra]]
[[Categoría:Exponenciales]]
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[[ca:Potència aritmètica]]
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