Diferencia entre revisiones de «Distancia de un punto a una recta»
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==Demostración==
==Demostración==, es decir sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortonormal - <math>(O, \vec i, \vec j )</math> en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: <math>D: a \cdot x + b \cdot y + c = 0</math>; y <math> M=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}</math><br />▼
Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en el proyectado ortogonal de A sobre D, es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de (D), entonces en el [[triángulo rectángulo]] AA'B, la [[hipotenusa]] AB es más larga que el [[cateto]] AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'.
[[Archivo:Distancia punto recta 2.png|left]]
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Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar '''c = 0'''. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma <math>\begin{pmatrix} -by/a \\ y \end{pmatrix}=y\begin{pmatrix} -b/a \\ 1 \end{pmatrix}</math>, que puede simplificarse a <math>\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}</math>
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