|
: <math>\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta \, </math>
: <math>\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>
: <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>
<math>
\begin{align}
& {Teorema\mathrm{:}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sin{x}\cos{y}\mathrm{{+}}\cos{x}\sin{y}}\\
& {}\\
& {Dem\mathrm{:}}\\
& {}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{)}}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}'{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\cos{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{)}}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}''{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\mathrm{{-}}\sin{\mathrm{(}}{x}\mathrm{{+}}{y}{\mathrm{)}}}\\
& {\mathrm{\therefore}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}\mathrm{{+}}{f}''{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}{0}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}{\mathrm{(}}{0}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\sin{y}\mathrm{{=}}{a}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}'{\mathrm{(}}{0}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\cos{y}\mathrm{{=}}{b}}\\
& {\mathrm{\Rightarrow}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{f}{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}{b}\sin{x}\mathrm{{+}}{a}\cos{x}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\sin{x}\mathrm{\cdot}\cos{y}\mathrm{{+}}\cos{x}\mathrm{\cdot}\sin{y}}
\end{align}
</math>
\end{align}
</math>
: <math>\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>
: <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>
=== Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos ===
: <math>\cos(\alpha) \operatorname {sen}(\beta) = \frac{\operatorname {sen}(\alpha + \beta) - \operatorname {sen}(\alpha - \beta) }{ 2}</math>
:<math>
\sin{\mathrm{(}}{mx}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{nx}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{-}}{n}{\mathrm{)}}{x}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{+}}{n}{\mathrm{)}}{x}{\mathrm{]}}
</math>
:<math>
\begin{align}
& {\mathrm{\vdash}\sin{\mathrm{(}}{mx}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{nx}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{-}}{n}{\mathrm{)}}{x}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{+}}{n}{\mathrm{)}}{x}{\mathrm{]}}}\\
& {}\\
& {{i}{\mathrm{)}}{Se}\;{operar}\mathrm{\acute{a}}\;{con}\;{el}\;{lado}\;{derecho}\;{de}\;{la}\;{igualdad}{\mathrm{,}}\;{entonces}{\mathrm{:}}}\\
& {}\\
& {\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{-}}{n}{\mathrm{)}}{x}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{m}\mathrm{{+}}{n}{\mathrm{)}}{x}{\mathrm{]}}\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{mx}\mathrm{{-}}{nx}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{mx}\mathrm{{+}}{nx}{\mathrm{)]}}}\\
& {}\\
& {{ii}{\mathrm{)}}\;{Sustituci}\mathrm{\acute{on}}\;{de}\;{variables}{\mathrm{:}}}\\
& {}\\
& {{u}\mathrm{{=}}{mx}}\\
& {}\\
& {{v}\mathrm{{=}}{nx}}\\
& {}\\
& {\mathrm{\Rightarrow}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{-}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{)]}}}\\
& {}\\
& {{iii}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{utilizan}\;{las}\;{propiedades}\;{de}\;\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{-}}{v}{\mathrm{)}}\;{y}\;\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{),}}\;{para}\;{llegar}\;{a}{\mathrm{:}}}\\
& {}\\
& {\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{-}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[(}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{))}}\mathrm{{-}}{\mathrm{(}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{))]}}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\cos{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)]}}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\frac{1}{2}{\mathrm{[}}{2}{\mathrm{(}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{))]}}}\\
& {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{{=}}\sin{\mathrm{(}}{u}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{v}{\mathrm{)}}}\\
& {}\\
& {{iv}{\mathrm{)}}{Cambio}\;{de}\;{variables}\;{por}\;{sus}\;{valores}\;{originales}{\mathrm{,}}\;{entonces}{\mathrm{:}}\;}\\
& {}\\
& {\frac{1}{2}{\mathrm{[}}\cos{\mathrm{(}}{mx}\mathrm{{-}}{nx}{\mathrm{)}}\mathrm{{-}}\cos{\mathrm{(}}{mx}\mathrm{{+}}{nx}{\mathrm{)]}}\mathrm{{=}}\sin{\mathrm{(}}{mx}{\mathrm{)}}\mathrm{\cdot}\sin{\mathrm{(}}{nx}{\mathrm{)}}}\\
& {}\\
& {\mathrm{\therefore}\;{queda}\;{demostrada}\;{la}\;{propiedad}{\mathrm{.}}}\\
& {}
\end{align}
</math>
=== Ángulo doble ===
:<math>\tan \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} </math>
:<math>\operatorname {sen}\alpha \cdot \cos \alpha + \operatorname {sen}\beta \cdot \cos \beta = \operatorname {sen}(\alpha + \beta) \cdot \cos(\alpha - \beta)</math>
:<math>
\arcsin{\mathrm{(}}\mathrm{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathrm{\beta}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{[}}\mathrm{\alpha}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathrm{\beta}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathrm{\alpha}}^{2}}{\mathrm{]}}
</math>
:<math>
\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arctan{\mathrm{(}}\mathrm{\frac{{x}{+}{y}}{{1}{-}{xy}}}{\mathrm{)}}
</math>
:<math>
\begin{align}
& {\mathrm{\vdash}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathit{\beta}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}{\mathrm{]}}}\\
& {}\\
& {\mathrm{\vdash}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\alpha}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arcsin{\mathrm{(}}\mathit{\beta}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arcsin{\mathrm{[}}\mathit{\alpha}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\beta}}^{2}}\mathrm{{+}}\mathit{\beta}\sqrt{{1}\mathrm{{-}}{\mathit{\alpha}}^{2}}}\\
& {}\\
& {{i}{\mathrm{)}}\;{Usando}\;{cambio}\;{de}\;{variables}\;{tenemos}\;{que}{\mathrm{:}}}\\
</math>
{{VT|Sinusoide}}
:<math>
\begin{align}
& {\mathrm{\vdash}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\arctan{\mathrm{(}}\mathrm{\frac{{x}{+}{y}}{{1}{-}{xy}}}{\mathrm{)}}}\\
& {}\\
& {{i}{\mathrm{)}}{Se}\;{cambian}\;{las}\;{variables}\;{para}\;{facilitar}\;{las}\;{operaciones}{\mathrm{:}}}\\
& {}\\
& {\;{u}\mathrm{{=}}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}}\\
& {\;{v}\mathrm{{=}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{)}}}\\
& {}\\
& {{ii}{\mathrm{)}}{Se}\;{obtiene}\;{la}\;\tan{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{):}}\;}\\
& {}\\
& {\;\tan{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{)}}\mathrm{{=}}\mathrm{\frac{\tan{(}{u}{)}{+}\tan{(}{s}{)}}{{1}{-}\tan{(}{u}{)}\tan{(}{v}{)}}}}\\
& {}\\
& {{iii}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{desarrolla}\;\tan{\mathrm{(}}{u}\mathrm{{+}}{v}{\mathrm{)}}\;{sustituyendo}\;{los}\;{valores}\;{de}\;{u}\;{y}\;{v}{\mathrm{:}}}\\
& {}\\
& {\;\tan{\mathrm{(}}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}\mathrm{\frac{\tan{(}\arctan{(}{x}{))}{+}\tan{(}\arctan{(}{y}{))}}{{1}{-}\tan{(}\arctan{(}{x}{))}\tan{(}\arctan{(}{y}{))}}}}\\
& {}\\
& {\;\tan{\mathrm{(}}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}\mathrm{\frac{{x}{+}{y}}{{1}{-}{xy}}}}\\
& {}\\
& {{iv}{\mathrm{)}}\;{Se}\;{obtiene}\;\arctan{\mathrm{(}}\tan{\mathrm{(}}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{))):}}}\\
& {}\\
& {\;\tan{\mathrm{(}}\arctan{\mathrm{(}}{x}{\mathrm{)}}\mathrm{{+}}\arctan{\mathrm{(}}{y}{\mathrm{))}}\mathrm{{=}}\arctan{\mathrm{(}}\mathrm{\frac{{x}{+}{y}}{{1}{-}{xy}}}{\mathrm{)}}}\\
& {}\\
& {\mathrm{\therefore}\,{queda}\;{demostrada}\;{la}\;{igualdad}{\mathrm{.}}}
\end{align}
</math>
== Función tangente ==
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