Diferencia entre revisiones de «Distribución normal»
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Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan [[b:es:Tablas estadísticas/Distribución normal|tablas]] para el cálculo de los valores de su distribución.
=== Función de distribución ===
[[Archivo:Normal Distribution CDF.svg|right|360px|Función de distribución para la distribución normal]]
La [[función de distribución]] de la distribución normal está definida como sigue:
: <math> \begin{align}
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x)
&{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(u)\,du\\
&{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
e^{-\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\
\end{align}
</math>
Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:
:<math>
\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x)
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
e^{-\frac{u^2}{2}}
\, du, \quad x\in\mathbb{R}.
</math>
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una [[función especial]] llamada [[función error]] de la siguiente forma:
:<math>
\Phi(x)
=\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr],
\quad x\in\mathbb{R},
</math>
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
:<math>
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x)
=\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr],
\quad x\in\mathbb{R}.
</math>
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, <math>1 - \Phi(x)</math>, se denota con frecuencia <math>Q(x)</math>, y es referida, a veces, como simplemente '''función Q''', especialmente en textos de ingeniería.<ref>[http://cnx.org/content/m11537/latest/ La función Q]</ref><ref>http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf</ref> Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de <math>\Phi</math>.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html Normal Distribution Function - from Wolfram MathWorld]</ref>
La inversa de la función de distribución de la normal estándar ([[función cuantil]]) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
:<math>
\Phi^{-1}(p)
= \sqrt2
\;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1),
\quad p\in(0,1),
</math>
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
:<math>
\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p)
= \mu + \sigma\Phi^{-1}(p)
= \mu + \sigma\sqrt2
\; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1),
\quad p\in(0,1).
</math>
Esta función cuantil se llama a veces la [[función probit]]. No hay una [[función primitiva|primitiva]] elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase [[función cuantil]]).
Los valores Φ(''x'') pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como [[integración numérica]], [[series de Taylor]], [[Serie asintótica|series asintóticas]] y [[Fracción continua de Gauss|fracciones continuas]].
==== Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución ====
Para grandes valores de ''x'' la función de distribución de la normal estándar <math>\scriptstyle\Phi(x)</math> es muy próxima a 1 y <math>\scriptstyle\Phi(-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi(x)</math> está muy cerca de 0. Los límites elementales
:<math>
\frac{x}{1+x^2}\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac{\varphi(x)}{x}, \qquad x>0,
</math>
en terminos de la densidad <math>\scriptstyle\varphi</math> son útiles.
Usando el [[Métodos de integración#Método de integración por sustitución|cambio de variable]] ''v'' = ''u''²/2, el límite superior se obtiene como sigue:
:<math>
\begin{align}
1-\Phi(x)
&=\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\
&<\int_x^\infty\frac ux\varphi(u)\,du
=\int_{x^2/2}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv
=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty
=\frac{\varphi(x)}{x}.
\end{align}
</math>
De forma similar, usando <math>\scriptstyle\varphi'(u)\,{=}\,-u\,\varphi(u)</math> y la [[regla del cociente]],
:<math>
\begin{align}
\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)(1-\Phi(x))&=\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\
&=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(u)\,du\\
&>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{u^2}\Bigr)\varphi(u)\,du
=-\biggl.\frac{\varphi(u)}u\biggr|_x^\infty
=\frac{\varphi(x)}x.
\end{align}
</math>
Resolviendo para <math>\scriptstyle 1\,{-}\,\Phi(x)\,</math> proporciona el límite inferior.
=== Funciones generadoras ===
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