Diferencia entre revisiones de «Trigonometría»
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[[Archivo:STS-114 Steve Robinson on Canadarm2.jpg|thumb|300px|El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la [[Estación Espacial Internacional]]. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del [[astronauta]] en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.]]
== Unidades angulares ==
En la medida de [[ángulo]]s, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al [[sistema decimal]], se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
* [[Radián]]: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
* [[Grado sexagesimal]]: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
* [[Grado centesimal]]: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
== Razones trigonométricas ==
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== Valor de las funciones trigonométricas ==
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
:{|
| [[Archivo:RadiánCircunferencia.svg|300px]]
| [[Archivo:SexaCircunferencia.svg|300px]]
|-
| align="center"| Circunferencia en [[radián|radianes]].
| align="center"| Circunferencia en [[Grado sexagesimal]].
|}
:{| {{tablabonita|background:#FFFFFF}}
|- bgcolor="#EAEAEA" align="center"
!
! [[Radián|Radianes]]
! [[Grado sexagesimal|Grados sexag.]]
! [[Seno (trigonometría)|seno]]
! [[coseno]]
! [[Tangente (trigonometría)|tangente]]
! [[cosecante]]
! [[Secante (Trigonometría)|secante]]
! [[cotangente]]
|-----
|[[File:Angulo000.svg|60px]]
| align="center" | <math> 0 \; </math>
| align="center" | <math>0^o \,</math>
| <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math>
| <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math>
| align="center" | <math>0 \,</math>
| align="center" | <math>\nexists (\pm \infty) \,\!</math>
| align="center" | <math>1 \,</math>
| align="center" | <math>\nexists (\pm \infty) \,\!</math>
|-----
|[[File:Angulo030.svg|60px]]
| align="center" | <math> \frac{1}{6}\pi </math>
| align="center" | <math>30^o \,</math>
| <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
| align="center" | <math>2 \,</math>
| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>
|-----
|[[File:Angulo045.svg|60px]]
| align="center" | <math> \frac{1}{4}\pi </math>
| align="center" | <math>45^o \,</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| align="center" | <math>1 \,</math>
| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>
| align="center" | <math>\sqrt{2}</math>
| align="center" | <math>1 \,</math>
|-----
|[[File:Angulo060.svg|60px]]
| align="center" | <math> \frac{1}{3} \pi</math>
| align="center" | <math>60^o \,</math>
| <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}</math>
| align="center" | <math>\sqrt{3}</math>
| align="center" | <math>\frac{2\sqrt{3}}{3}</math>
| align="center" | <math>2 \,</math>
| align="center" | <math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
|-----
|[[File:Angulo090.svg|60px]]
| align="center" | <math> \frac{1}{2} \pi</math>
| align="center" | <math>90^o \,</math>
| <math>\frac{\sqrt{4}}{2}=1</math>
| <math>\frac{\sqrt{0}}{2}=0</math>
| align="center" | <math>\nexists (\pm \infty) \,\!</math>
| align="center" | <math>1 \,</math>
| align="center" | <math>\nexists (\pm \infty) \,\!</math>
| align="center" | <math>0 \,</math>
|}
Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron [[b:es:Trigonometría/Tabla trigonométrica|tablas trigonométricas]]. La primera de estas tablas fue desarrollada por [[Johann Müller Regiomontano]] en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
== Sentido de las funciones trigonométricas ==
[[Archivo:Trigono c00.svg|right|280px]]
Dados los ejes de [[coordenadas cartesianas]] '''xy''', de centro '''O''', y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en '''O'''; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las '''x''', lo señalamos como punto '''E'''.
Notese que el punto '''A''' es el vertice del triangulo, y '''O''' es el centro de coordenada del sistema de referencia:
: <math> A \equiv O </math>
a todos los efectos.
La recta '''r''', que pasa por '''O''' y forma un ángulo <math> \alpha \, </math> sobre el eje de las '''x''', corta a la circunferencia en el punto '''B''', la vertical que pasa por '''B''', corta al eje '''x''' en '''C''', la vertical que pasa por '''E''' corta a la recta '''r''' en el punto '''D'''.
Por [[semejanza]] de [[triángulo]]s:
: <math> \frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}} </math>
Los puntos '''E''' y '''B''' están en la circunferencia de centro '''O''', por eso la [[distancia]] <math> \overline{OE} </math> y <math> \overline{OB} </math> son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
: <math> \operatorname {sen} \alpha = \overline{CB} \, </math>
: <math> \cos \alpha = \overline{OC} \, </math>
: <math> \tan \alpha = \overline{ED} \, </math>
tenemos:
: <math> \frac{\operatorname {sen} \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1} </math>
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
=== Primer cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 001.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 002.svg|right|200px]]
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo <math> \alpha \,</math>.
Para <math> \alpha = 0 \, </math>, tenemos que '''B''', '''D''', y '''C''' coinciden en '''E''', por tanto:
: <math> \operatorname {sen} 0 = 0 \, </math>
: <math> \cos 0 = 1 \, </math>
: <math> \tan 0 = 0 \, </math>
Si aumentamos progresivamente el valor de <math> \alpha \, </math>, las distancias <math> \overline{CB} </math> y <math> \overline{ED} </math> aumentaran progresivamente, mientras que <math> \overline{OC} </math> disminuirá.
Percatarse que <math> \overline{OC} </math> y <math> \overline{CB} </math> están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero <math> \overline{ED} </math> no está limitado, dado que '''D''' es el punto de corte de la recta '''r''' que pasa por '''O''', y la vertical que pasa por '''E''', en el momento en el que el ángulo <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], la recta '''r''' será la vertical que pasa por '''O'''. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia <math> \overline{ED} </math> será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando <math> \alpha = 1/2 \pi \, </math> [[Radián|rad]], el seno vale 1 y el coseno 0.
<br clear=all>
=== Segundo cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 004.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 005.svg|right|200px]]
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> supera el [[ángulo recto]], el valor del seno empieza a disminuir según el segmento <math> \overline{CB} </math>, el coseno aumenta según el segmento <math> \overline{OC} </math>, pero en el sentido negativo de las '''x''', el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo <math> \alpha \, </math> inferior a <math> 0,5\pi \, </math> [[Radián|rad]] se hace infinita en el sentido positivo de las '''y''', para el ángulo recto la recta vertical '''r''' que pasa por '''O''' y la vertical que pasa por '''E''' no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los <math> 0,5\pi \, </math> [[Radián|rad]] y pasa al segundo cuadrante la prolongación de '''r''' corta a la vertical que pasa por '''E''' en el punto '''D''' real, en el lado negativo de las '''y''', la tangente <math> \overline{ED} </math> por tanto toma valor negativo en el sentido de las '''y''', y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta progresivamente hasta los <math> \pi \, </math> [[Radián|rad]].
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de <math> \alpha \, </math>, <math> \overline{CB} </math>, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], hasta que valga 0, para <math> \alpha = \pi \, </math> [[Radián|rad]], el coseno,<math> \overline{OC} </math>, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], hasta –1, para <math> \alpha = \pi \,</math> [[Radián|rad]].
La tangente conserva la relación:
: <math> \tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha} </math>
incluyendo el signo de estos valores.
<br clear="all" />
=== Tercer cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 007.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 008.svg|right|200px]]
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo <math> \alpha = \pi \, </math> [[Radián|rad]] a <math> \alpha = 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para <math> \pi \,</math> [[Radián|rad]]:
: <math> \operatorname {sen} \pi = 0 \, </math>
: <math> \cos \pi = -1 \, </math>
: <math> \tan \pi = 0 \, </math>
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las '''y''', el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las '''x''', y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto '''C''' se acerca a '''O''', y el segmento <math> \overline{OC} </math>, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las '''x'''.
El punto '''B''', intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por '''C''', se aleja del eje de las '''x''', en el sentido negativo de las '''y''', el seno, <math> \overline{CB} </math>.
Y el punto '''D''', intersección de la prolongación de la recta '''r''' y la vertical que pasa por '''E''', se aleja del eje las '''x''' en el sentido positivo de las '''y''', con lo que la tangente, <math> \overline{ED} </math>, aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> alcance <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], el punto '''C''' coincide con '''O''' y el coseno valdrá cero, el segmento <math> \overline{CB} </math> será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las '''y''', y el seno valdrá –1, la recta '''r''' del ángulo y la vertical que pasa por '''E''' serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las '''y'''.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
<br clear=all>
=== Cuarto cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 010.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 011.svg|right|200px]]
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo <math> \alpha \, </math> entre <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]] y <math> 2 \pi \, </math> [[Radián|rad]], las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]]:
: <math> \operatorname {sen} (1,5 \, \pi ) = -1 \, </math>
: <math> \cos(1,5 \, \pi ) = 0 \, </math>
: <math> \tan(1,5 \, \pi ) = \infty \, </math>
hasta los que toman para <math> 2 \pi \, </math> [[Radián|rad]] pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
: <math> \operatorname {sen} (2 \, \pi ) = 0 = 0 \, </math>
: <math> \cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \, </math>
: <math> \tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \, </math>
como puede verse a medida que el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta, aumenta el coseno <math> \overline{OC} </math> en el lado positivo de las '''x''', el seno <math> \overline{CB} </math> disminuye en el lado negativo de las '''y''', y la tangente <math> \overline{ED} </math> también disminuye en el lado negativo de las '''y'''.
Cuando <math> \alpha \, </math>, vale <math> 2 \pi \, </math> ó <math> 0 \pi \, </math> al completar una rotación completa los puntos '''B''', '''C''' y '''D''', coinciden en '''E''', haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
<br clear=all>
== Representación gráfica ==
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