Diferencia entre revisiones de «Trigonometría»
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== Sentido de las funciones trigonométricas ==
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Dados los ejes de [[coordenadas cartesianas]] '''xy''', de centro '''O''', y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en '''O'''; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las '''x''', lo señalamos como punto '''E'''.
Notese que el punto '''A''' es el vertice del triangulo, y '''O''' es el centro de coordenada del sistema de referencia:
: <math> A \equiv O </math>
a todos los efectos.
La recta '''r''', que pasa por '''O''' y forma un ángulo <math> \alpha \, </math> sobre el eje de las '''x''', corta a la circunferencia en el punto '''B''', la vertical que pasa por '''B''', corta al eje '''x''' en '''C''', la vertical que pasa por '''E''' corta a la recta '''r''' en el punto '''D'''.
Por [[semejanza]] de [[triángulo]]s:
: <math> \frac{\; \overline{CB} \;}{\overline{OC}} = \frac{\; \overline{ED} \;}{\overline{OE}} </math>
Los puntos '''E''' y '''B''' están en la circunferencia de centro '''O''', por eso la [[distancia]] <math> \overline{OE} </math> y <math> \overline{OB} </math> son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
: <math> \operatorname {sen} \alpha = \overline{CB} \, </math>
: <math> \cos \alpha = \overline{OC} \, </math>
: <math> \tan \alpha = \overline{ED} \, </math>
tenemos:
: <math> \frac{\operatorname {sen} \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{1} </math>
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
=== Primer cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 001.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 002.svg|right|200px]]
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo <math> \alpha \,</math>.
Para <math> \alpha = 0 \, </math>, tenemos que '''B''', '''D''', y '''C''' coinciden en '''E''', por tanto:
: <math> \operatorname {sen} 0 = 0 \, </math>
: <math> \cos 0 = 1 \, </math>
: <math> \tan 0 = 0 \, </math>
Si aumentamos progresivamente el valor de <math> \alpha \, </math>, las distancias <math> \overline{CB} </math> y <math> \overline{ED} </math> aumentaran progresivamente, mientras que <math> \overline{OC} </math> disminuirá.
Percatarse que <math> \overline{OC} </math> y <math> \overline{CB} </math> están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero <math> \overline{ED} </math> no está limitado, dado que '''D''' es el punto de corte de la recta '''r''' que pasa por '''O''', y la vertical que pasa por '''E''', en el momento en el que el ángulo <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], la recta '''r''' será la vertical que pasa por '''O'''. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia <math> \overline{ED} </math> será infinita.
La tangente toma valor infinito cuando <math> \alpha = 1/2 \pi \, </math> [[Radián|rad]], el seno vale 1 y el coseno 0.
<br clear=all>
=== Segundo cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 004.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 005.svg|right|200px]]
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> supera el [[ángulo recto]], el valor del seno empieza a disminuir según el segmento <math> \overline{CB} </math>, el coseno aumenta según el segmento <math> \overline{OC} </math>, pero en el sentido negativo de las '''x''', el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo <math> \alpha \, </math> inferior a <math> 0,5\pi \, </math> [[Radián|rad]] se hace infinita en el sentido positivo de las '''y''', para el ángulo recto la recta vertical '''r''' que pasa por '''O''' y la vertical que pasa por '''E''' no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los <math> 0,5\pi \, </math> [[Radián|rad]] y pasa al segundo cuadrante la prolongación de '''r''' corta a la vertical que pasa por '''E''' en el punto '''D''' real, en el lado negativo de las '''y''', la tangente <math> \overline{ED} </math> por tanto toma valor negativo en el sentido de las '''y''', y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta progresivamente hasta los <math> \pi \, </math> [[Radián|rad]].
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de <math> \alpha \, </math>, <math> \overline{CB} </math>, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], hasta que valga 0, para <math> \alpha = \pi \, </math> [[Radián|rad]], el coseno,<math> \overline{OC} </math>, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para <math> \alpha = 0,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], hasta –1, para <math> \alpha = \pi \,</math> [[Radián|rad]].
La tangente conserva la relación:
: <math> \tan \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha} {\cos \alpha} </math>
incluyendo el signo de estos valores.
<br clear="all" />
=== Tercer cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 007.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 008.svg|right|200px]]
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo <math> \alpha = \pi \, </math> [[Radián|rad]] a <math> \alpha = 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para <math> \pi \,</math> [[Radián|rad]]:
: <math> \operatorname {sen} \pi = 0 \, </math>
: <math> \cos \pi = -1 \, </math>
: <math> \tan \pi = 0 \, </math>
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las '''y''', el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las '''x''', y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto '''C''' se acerca a '''O''', y el segmento <math> \overline{OC} </math>, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las '''x'''.
El punto '''B''', intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por '''C''', se aleja del eje de las '''x''', en el sentido negativo de las '''y''', el seno, <math> \overline{CB} </math>.
Y el punto '''D''', intersección de la prolongación de la recta '''r''' y la vertical que pasa por '''E''', se aleja del eje las '''x''' en el sentido positivo de las '''y''', con lo que la tangente, <math> \overline{ED} </math>, aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo <math> \alpha \, </math> alcance <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]], el punto '''C''' coincide con '''O''' y el coseno valdrá cero, el segmento <math> \overline{CB} </math> será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las '''y''', y el seno valdrá –1, la recta '''r''' del ángulo y la vertical que pasa por '''E''' serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las '''y'''.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
<br clear=all>
=== Cuarto cuadrante ===
[[Archivo:Trigono 010.svg|right|200px]]
[[Archivo:Trigono 011.svg|right|200px]]
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo <math> \alpha \, </math> entre <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]] y <math> 2 \pi \, </math> [[Radián|rad]], las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para <math> 1,5 \pi \, </math> [[Radián|rad]]:
: <math> \operatorname {sen} (1,5 \, \pi ) = -1 \, </math>
: <math> \cos(1,5 \, \pi ) = 0 \, </math>
: <math> \tan(1,5 \, \pi ) = \infty \, </math>
hasta los que toman para <math> 2 \pi \, </math> [[Radián|rad]] pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
: <math> \operatorname {sen} (2 \, \pi ) = 0 = 0 \, </math>
: <math> \cos(2 \, \pi ) = \cos 0 = 1 \, </math>
: <math> \tan(2 \, \pi ) = \tan 0 = 0 \, </math>
como puede verse a medida que el ángulo <math> \alpha \, </math> aumenta, aumenta el coseno <math> \overline{OC} </math> en el lado positivo de las '''x''', el seno <math> \overline{CB} </math> disminuye en el lado negativo de las '''y''', y la tangente <math> \overline{ED} </math> también disminuye en el lado negativo de las '''y'''.
Cuando <math> \alpha \, </math>, vale <math> 2 \pi \, </math> ó <math> 0 \pi \, </math> al completar una rotación completa los puntos '''B''', '''C''' y '''D''', coinciden en '''E''', haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
<br clear=all>
== Representación gráfica ==
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