Diferencia entre revisiones de «1 − 2 + 3 − 4 + ⋯»
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== Relaciones [[heurística]]s de suma ==
Las explicaciones más simples que relacionan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · con el valor <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub> son extensiones de resultados relacionados con la serie 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
=== Estabilidad y linealidad ===
Dado que los términos (1, −2, 3, −4, 5, −6…) siguen un patrón simple, se puede expresar a la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · como una versión transformada de sí misma y resolver la [[ecuación]] resultante para obtener un valor numérico. Suponiendo que fuera correcto expresar ''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · para algún número ''s'', las siguientes relaciones conducen a mostrar que ''s'' = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>:
[[Archivo:Pm1234 linearity.svg|thumb|Sumando 4 copias de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, utilizando únicamente desplazamientos y sumando término a término se obtiene 1.]]
:{|border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|''s'' ||= 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
|-
| ||= (1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) + (0 − 1 + 2 − 3 + · · · )
|-
| ||= ''h'' − ''s'',
|}
donde ''h'' es la "suma" de la serie:
:{|border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|''h'' ||= 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
|-
| ||= 1 − (1 − 1 + 1 − · · · )
|-
| ||= 1 − ''h''.
|}
[[Resolución de ecuaciones|Resolviendo las ecuaciones]] ''h'' = 1 − ''h'' y ''s'' = ''h'' − ''s'' se obtiene que ''h'' = <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub> y ''s'' = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>.<ref>Hardy (p.6) presenta estos desarrollos con un paso adicional para ''s''.</ref>
En forma equivalente, se puede reordenar las ecuaciones de forma tal de obtener (''s'' + ''s'') + (''s'' + ''s'') = ''h'' + ''h'' = 1, lo cual nuevamente implica que ''s'' = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>; siendo esta la forma que se muestra en el esquema a la derecha y en la expresión a continuación.
<pre> 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
+ 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
4 s = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . </pre>
Si bien la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no posee una suma en el sentido usual, la ecuación ''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub> puede ser interpretada como la solución más natural en el caso de que se fuera a definir el valor de dicha suma. Una definición [[Generalización|generalizada]] de "suma" de una serie divergente es llamado método de sumación; existen varios tipos diferentes de métodos, algunos de los cuales se explican en las secciones [[#Métodos específicos|siguientes]], los cuales se caracterizan por las propiedades que comparten con la suma convencional.
Las manipulaciones mostradas previamente demuestran que: dado un método de sumación que es [[Serie divergente#Propiedades de los métodos de sumación|lineal y estable]], '''si''' el mismo suma a la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · entonces la suma debe ser <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, y ese método también permitirá sumar a la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · · arrojando el valor <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>.
A pesar que el enfoque explicado en el párrafo previo limita los valores que pueden tomar las sumas generalizadas de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, el mismo no indica cuales son los métodos que permitirán sumar o no la serie. En efecto, algunos métodos de sumación lineales y estables, tales como la suma ordinaria, no suman a la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·. Si en cambio, se expresa la serie en una forma alternativa como un producto, entonces es posible determinar cuales son los métodos que permiten obtener <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>.
=== Producto de Cauchy ===
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