Diferencia entre revisiones de «Sucesión (matemática)»
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[[imagen:sucesión_definida_explícitamente.png|right|thumb|300px|Representación de una [[función matemática|función]] (trazo continuo) y una sucesión (puntos rojos)]]
Una '''[[wiktionary:es:sucesión|sucesión]] matemática''' es una [[Aplicación matemática|aplicación]] definida sobre los [[número natural|números naturales]]. Es costumbre representarla con las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente ''n'' (por ''natural'') en vez de ''x'', habitual para las variables [[número real|reales]].
Por convención, se escribe u<sub>n</sub> (en vez de u(n)), la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u<sub>0</sub>).
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También asociado a una sucesión está el concepto de [[convergencia]].
===Definición explícita===
La definición es '''explícita''' cuando se da una fórmula que permite hallar u<sub>n</sub> mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que ''n''. En otras palabras, u<sub>n</sub> es una función de ''n'': '''u<sub>n</sub> = f(n)'''.
Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas [[Coordenadas_cartesianas|abscisas]] son los enteros naturales.
Cuando la función ''f'' es definida también en los reales (como en la figura), el estudio de ''f'' ([[límite]] en + ∞ variaciones, extremos) permite conocer perfectamente ''u'':
* Si ''f'' tiende hacia ''l'' (en + ∞) entonces también lo hace ''u''. La recíproca es errónea, como lo muestra la función f(x) = sin(2π·x), que no tiene límite mientras que u<sub>n</sub> = f(n) es siempre nulo y ''u'' tiende por lo tanto hacia cero.
* Si ''f'' es creciente en un [[intervalo (matemática)|intervalo]] [a; b] entonces ''u'' lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre [a; b] ∩ <math>\mathbb{N}</math>).
* Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de ''f'' no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los u<sub>n</sub> correspondientes. En la figura, ''f'' tiene un mínimo relativo en el intervalo ]2; 3[, y como u<sub>2</sub> < u<sub>3</sub>, u<sub>2</sub> es un mínimo relativo de ''u''. El máximo relativo de ''f'' en ]6; 7[ da dos máximos relativos de ''u'' porque u<sub>6</sub> = u<sub>7</sub>.
Sin embargo, existen métodos para estudiar ''u'' sin estudiar ''f'': el sentido de variación se puede determinar con el signo de u<sub>n+1</sub> - u<sub>n</sub> (si es positivo, ''u'' crece), o comparando la fracción u<sub>n+1</sub>/u<sub>n</sub> con 1 (apropiado cuando ''u'' es de signo constante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando ''f'' tiene una [[función derivada]] complicada.
En algunos casos, la función ''f'' que aparece en u<sub>n</sub> = f(n) no puede extenderse a <math>\mathbb{R}</math>. Es el caso si definimos u<sub>n</sub> como el ''número de factores propios de n'' por ejemplo, u otras funciones [[aritmética]]s, como la [[función fi de Euler]] o la [[Función de Möbius]] µ . El estudio clásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.
[[imagen:sucesión_definida_por_inducción.png|right]]
===Definición implícita===
La definición es '''implícita''' cuando u<sub>n</sub> no sólo depende de ''n'' sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.<br/
Por ejemplo se puede fijar u<sub>o</sub> = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, u<sub>n</sub> = n·u<sub>n-1</sub>. Para hallar u<sub>3</sub> digamos, hay que calcular u<sub>2</sub> lo que necesita el conocimiento de u<sub>1</sub> el cual se calcula con u<sub>o</sub>. <br/>
Obtenemos: u<sub>1</sub> = 1×u<sub>0</sub> = 1, luego u<sub>2</sub> = 2×u<sub>1</sub> = 2 y por fin u<sub>3</sub> = 3×u<sub>2</sub> = 6. Son los [[factorial]]es.
Otro ejemplo muy conocido es la [[sucesión de Fibonacci]] definida por u<sub>n+2</sub> = u<sub>n+1</sub> + u<sub>n</sub>.<br/>
La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama ''relación de '' [[inducción matemática|inducción]].
Cuando el término general u<sub>n</sub> sólo depende del término anterior , u<sub>n-1</sub>, es decir cuando existe ''f'' tal que '''u<sub>n</sub> = f(u<sub>n-1</sub>)''' o; lo que viene a ser lo mismo '''u<sub>n+1</sub> = f(u<sub>n</sub>)''' (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen):
En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación ''y = x'').
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Los tipos de sucesiones más comunes son:
* Las [[
* Las [[Sucesión_matemática#Las_sucesiones_geométricas|sucesiones geométricas]]
* Las [[Sucesión_matemática#Las_sucesiones_aritmeticogeométricas|sucesiones aritmeticogeométricas]]
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