Diferencia entre revisiones de «Cálculo de la raíz cuadrada»
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''' La aproximación a la raiz cuadrada''' es un numero potenciado menor que el numero a encontrar,
Para '''resolver la raíz cuadrada''', en los números reales existen varios [[algoritmos]], siendo el más conocido el método de resolución. En este artículo se presentan y explican varios métodos que se puedan utilizar para calcular [[raíz cuadrada|raíces cuadradas]].
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[[Archivo:Partes de la Raiz Cuadrada.PNG|left|300px]]
En la imagen podemos ver cinco partes esenciales de la raíz cuadrada en el método de resolución:
*1- Radical, no es más que el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.
*2- Radicando, es el número al que se le obtendrá la raíz cuadrada.
*3- Renglón de la raíz cuadrada, ahí se distinguirá el resultado.
*4- Renglones auxiliares, nos ayudaran a resolver la raíz cuadrada.
*5- Residuo, es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.
Los pasos a seguir son estos:
[[Archivo:Raiz paso 1.PNG|thumb|150px|Paso 1]]
*<u>Paso 1:</u> Se separa el número del radicando (en el ejemplo, 5836.369) en grupos de dos cifras. La separación se hace desde el signo de decimal (si lo hubiera) hacia la derecha y hacia la izquierda. Si del lado de los decimales (a la derecha del punto, es decir 369) no hay un número par de cifras, es evidente que quedaría una suelta: en ese caso, se le añadiría un cero. Si del lado de los enteros (a la izquierda del punto, es decir, 5836) quedara un número suelto, se quedaría así. En la imagen de la derecha podemos ver el número 5836.369 dividido en grupos de dos cifras; después del número 9 se ha agregado un cero (en azul) pues en el lado decimal no puede haber un grupo de una cifra (en el ejemplo, esta separación quedaría así: '''58/36.36/90''')
[[Archivo:Raiz paso 2.PNG|thumb|150px|Paso 2]]
*<u>Paso 2:</u> Se busca un número que multiplicado por sí mismo (es decir, elevado al cuadrado) de como resultado el número que coincida o que más se aproxime por debajo al primer grupo de números de la izquierda (en el ejemplo, 58). El resultado no puede ser mayor que 58. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la raíz. En este caso el número sería el 7, porque 7x7 es 49. Otra posibilidad sería 6x6, pero daría 36 (lo que quedaría más alejado de 58) y 8x8, pero daría 64 (lo que excedería a 58).
[[Archivo:Raiz paso 3.PNG|thumb|150px|Paso 3]]
*<u>Paso 3:</u> El número elegido (7) es el primer resultado de la raíz cuadrada. En el paso anterior lo escribíamos en el cajetín de la derecha. Ahora lo multiplicamos por sí mismo. El resultado (49) se escribe debajo del primer grupo de cifras de la izquierda (58), y se procede a restarlo. El resultado de la resta (58-49) es 9. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de dos cifras (36), con lo que la siguiente cifra de la raíz es ahora la unión del resultado de la resta anterior con las nuevas cifras bajadas (es decir, 936).Para continuar la extracción de la raíz cuadrada multiplicamos por 2 el primer resultado (7) y lo escribimos justo debajo de éste, en el siguiente renglón auxiliar (en la imagen, el 14 está escrito justo debajo del 7, ya que 7x2 es 14).
[[Archivo:Raiz paso 4.PNG|thumb|150px|Paso 4]]
*<u>Paso 4:</u> En este paso hay que encontrar un número ''n'' que, añadido a 14, y multiplicado por ese mismo ''n'', de como resultado un número igual o inferior a 936. Es decir, podría ser 14'''1'''x'''1''', 14'''2'''x'''2''', 14'''3'''x'''3'''... y así hasta 14'''9'''x'''9'''. Muchas veces se utiliza el procedimiento de tanteo para hallar ese número, si bien se puede emplear el método de dividir las primeras dos cifras del residuo (93) entre el número del renglón auxiliar (14). La primera cifra del resultado que no sea cero, aunque sea un decimal, es, generalmente, la que buscamos. El resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. En este caso 93 dividido entre 14 es 6. De manera que la operación buscada es 14'''6'''x'''6'''= 876 (operación que añadimos en el renglón auxiliar). El siguiente resultado de la raíz cuadrada es 6. También procedemos a anotarlo en el radicando.
[[Archivo:Raiz paso 5.PNG|thumb|150px|Paso 5]]
*<u>Paso 5:</u> El procedimiento a seguir es el mismo que anteriormente. El resultado de la operación anterior (876) se coloca debajo del número procedente de la resta anterior (936) y se restan. Al resultado de la resta (60) se le añade el siguiente grupo de cifras del radical (en este caso, 36). Si el siguiente grupo está después del punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz. El nuevo número obtenido es 6036.
[[Archivo:Raiz paso 6.PNG|thumb|150px|Paso 6]]
*<u>Paso 6:</u> Retomamos el procedimiento del paso 4. La cifra de la raíz (76) se multiplica por dos (resultando 152). Buscamos un número que añadido a 152 y multiplicado por ese mismo número nos dé una cantidad aproximada a 6036. Sería, por tanto, 152'''1'''x'''1''', 152'''2'''x'''2''', 152'''3'''x'''3''', etc. Lo podemos hacer por tanteo, o por el procedimiento de dividir en este caso, las '''tres''' primeras cifras de la raíz por las '''tres''' primeras cifras de la línea auxiliar (nótese que antes eran las dos primeras cifras), es decir, 603/152 (el número buscado es 3, ya que el resultado es 3.9 y hemos dicho que la cifra que debemos tomar es la primera). La operación a realizar es, por tanto, 152'''3'''x'''3'''. El resultado (4569) se coloca bajo el último resto y se procede a hallar la diferencia (que es 1467). Una vez realizada la resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso. Obsérvese que el número a dividir entre renglón auxiliar y residuo va aumentado.
[[Archivo:Raiz paso 7.PNG|thumb|150px|Paso 7]]
*<u>Paso 7:</u> Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos (ignorando el punto de los decimales). El resultado de la multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelven a dividir los primeros cuatro números del residuo (1467) entre el resultado de la multiplicación (152), y se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar (9). Dicha cifra se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le resta al tercer residuo. Se continua el proceso, si ya no hay más cifras la raíz ha terminado. En este caso, 76.3 se multiplica por 2 como 763 (763x2) que nos da un resultado de 1526. La cifra resultante es 14679 (nótese que son las primeras '''cuatro''' cifras, cuando antes eran las '''tres''' primeras), y se divide entre 1526, lo que nos da un resultado de 0.9 (como decíamos antes, se toma el primer número aunque sea decimal, por lo tanto, la cifra buscada es 9). El nueve se agrega en el renglón de la raíz y el tercer renglón auxiliar, y se multiplica 9 por 15269, lo que da un resultado de 137421, esta cifra se le resta a 146790 y nos da un resultado de 9369.
La raíz cuadrada de 5836.369 es 76.39, con un residuo de 9369. Recordemos que el cero es sólo un auxiliar. Es importante señalar también que la operación anterior utilizada como ejemplo no está completa. Si la continuáramos daría como resultado 76.396132 (con seis decimales).
=== Variante original del método de resolución ===
Cuando calculamos la raíz cuadrada lo que hacemos es poner el doble de los números que llevamos obtenidos en el renglón de la raíz cuadrada, multiplicarlo por diez, sumar eso al número que calculamos que va a ser la siguiente cifra de la raíz cuadrada y multiplicarlo por esa misma cifra, pudiéndose expresar esto, tomando como ejemplo el primer renglón auxiliar como:
:<math>(7 \times 2 \times10 + 6)\times6</math>
o por ejemplo en el segundo renglón auxiliar sería
:<math>(76 \times 2 \times10 + 3)\times3</math>
y en el tercero
:<math>(763 \times 2 \times10 + 9)\times9</math>
esto se puede expresar de manera genérica como:
:<math>(n \times 2 \times10 + m)\times m</math>
y aquí podemos darnos cuenta de una igualdad interesante que pasa desapercibida que es:
:<math>(n \times 2 \times 10 + m)\times m = 20 \times n \times m + m^2</math>
con lo que cada renglón auxiliar se puede expresar como:
:<math>20\times7\times6+6^2</math>;
:<math>20\times76\times3+3^2</math>
y
:<math>20\times763\times9+9^2</math>
Esto no podría tener mayor importancia por el hecho de que la fórmula que usamos para su cómputo ordinario es algo más simple, sobre todo teniendo en cuenta que como se averiguan las cifras de la raíz cuadrada de una en una no hace falta si quiera hallarlas como se ha explicado anteriormente, sino que basta con colocar al lado de ese doble la nueva cifra y multiplicarla por esa misma, viendo que si no se extrajesen los números de uno en uno esta simplificación aritmética mental no sería posible. La importancia de esta fórmula residiría en que la usada ordinariamente viene de esa algo más larga, pudiéndose ver en cualquier operación de método de resolución de un algoritmo de raíz de índice n, donde se conserva la segunda estructura más larga aunque siempre más compleja cuando mayor sea el índice de la raíz, siendo inútil en cualquier raíz con un índice superior a 2 esta simplificación ya que al ser la fórmula más larga no produce una simplificación de los mismos efectos, con lo que no contribuye a que sea más fácil la operación, aunque en el cálculo de la raíz cuadra si que simplifica la operación un poco, aunque tampoco tiene demasiada dificultad la segunda fórmula como para no tenerla en cuenta si se quiere calcular la raíz cuadrada de una manera un poco distinta.
== Identidad exponencial ==
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