Diferencia entre revisiones de «Álgebra de Boole»
Contenido eliminado Contenido añadido
m Revertidos los cambios de 189.250.137.83 (disc.) a la última edición de 81.184.17.231 |
|||
Línea 303:
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Leyes fundamentales ==
El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.
1. Ley de idempotencia:
: <math> a \cdot a = a \, </math>
: <math> a + a = a \, </math>
2. Ley de involución:
: <math> \overline {\bar {a}} = a </math>
3. Ley conmutativa:
: <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
: <math> a + b = b + a \, </math>
4. Ley asociativa:
: <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c\, </math>
: <math> a + (b + c) = (a + b ) + c \, </math>
5. Ley distributiva:
: <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \, </math>
: <math> (a + b ) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \, </math>
: <math> a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math>
: <math> (a \cdot b ) + c = (a + c) \cdot (b + c) \, </math>
: <math> a + \bar {a} \cdot b = a + b \,</math>
6. Ley de cancelación:
: <math> (a \cdot b) + a= a \, </math>
: <math> (a + b) \cdot a= a \, </math>
7. [[Leyes de De Morgan]]:
: <math> \overline {(a + b)}= \bar {a} \cdot \bar {b} \, </math>
: <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a}+ \bar {b} \, </math>
=== Principio de dualidad ===
El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. </br>
Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. </br>
:{| align="left" class="wikitable" border="1"
|- bgcolor="#f0f5fa"
!
! '''Adición'''
! '''Producto'''
|----- align="center"
| 1 || <math> a + \bar {a} = 1 \, </math> || <math> a \cdot \bar{a} = 0 </math>
|----- align="center"
| 2 || <math> a + 0 = a \,</math> || <math> a \cdot 1 = a \,</math>
|----- align="center"
| 3 || <math> a + 1 = 1 \,</math> || <math> a \cdot 0 = 0 \,</math>
|----- align="center"
| 4 || <math> a + a = a \,</math> || <math> a \cdot a = a \,</math>
|----- align="center"
| 5 || <math> a + b= b+ a \, </math> || <math> a \cdot b = b \cdot a \, </math>
|----- align="center"
| 6 || <math> a + (b + c) = (a + b) + c \, </math>|| <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 7 || <math> a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \, </math> || <math> a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \, </math>
|----- align="center"
| 8 || <math> a + a \cdot b = a \, </math> || <math> a \cdot (a + b) = a \, </math>
|----- align="center"
| 9 || <math> \overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b} </math> || <math> \overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \, </math>
|}
<br clear=all>
== Otras formas de notación del álgebra de Boole ==
En [[matemática]] se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, + , <math> \cdot </math> ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.
| |||