Diferencia entre revisiones de «Teorema de Pitágoras»
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Queda demostrado el teorema de Pitágoras, si bien restringido a los '''triángulos rectángulos isósceles'''.
=== Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos ===
[[Archivo:Euclides I.41.svg|framed|<center>La proposición I.41 de Euclides. La superficie del rectángulo ABCD es el doble de la de cualquiera de los triángulos: sus bases son la misma –DC-, y están entre las mismas paralelas. Esto es cuanto necesita [[Euclides]] para demostrar el teorema de Pitágoras.</center>]]
[[Archivo:Teorema de Pitágoras.Euclides.svg|framed|<center>La demostración de Euclides es puramente geométrica. Su columna vertebral es la sencilla proposición I.47 de [[Los Elementos]].</center>]]
[[Archivo:Euclides I.36.svg|framed|<center>La proposición I.36 de Euclides: los paralelogramos ABCD y EFCD tienen áreas equivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas.</center>]]
El descubrimiento de los [[número irracional|números irracionales]] por Pitágoras y los [[Pitagóricos]] supuso un contratiempo muy serio.<ref>Los pitagóricos habían llegado a la conclusión de que el número racional lo explicaba todo. Por eso el descubrimiento de los números irracionales causó un verdadero trauma. Juraron mantener el secreto de lo descubierto pero, según la leyenda (¿o realidad?) el pitagórico [[Hipaso de Metaponto]] lo reveló. En represalia, sus compañeros invocaron la ira de los dioses e Hipaso murió en un naufragio.</ref> De pronto, las [[proporción|proporciones]] dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un [[número racional]]. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto, [[Euclides]] elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.
El eje de su demostración es la proposición I.47 de [[Los Elementos]]:
:''Si un [[paralelogramo]] y un [[triángulo]] tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es doble de la del triángulo''. Esto es tanto como decir que a igual base y altura, el área de aquél dobla a la de éste.
Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, y construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:
* Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
* Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la [[#Demostración de Leonardo da Vinci|demostración de Leonardo da Vinci]] nos encontraremos de nuevo con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Veamos seguidamente que:
# Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el [[rectángulo]] AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.47 AHJK tiene doble área que ACK.
# Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el [[cuadrado]] ADEC tienen áreas equivalentes.
Haciendo razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que éstos últimos tienen áreas asimismo iguales.
A partir de aquí, es inmediato que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
=== Demostración de Pappus ===
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