Diferencia entre revisiones de «Derivada»
Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición |
Revertidos los cambios de 168.176.5.136 a la última edición de 62.42.36.27 usando monobook-suite |
||
Línea 1:
En [[cálculo]] (rama de las [[matemáticas]]), la '''derivada''' representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. Pobremente hablando, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado; por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una [[función]] en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la [[Pendiente de una recta|pendiente]] de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.
[[Archivo:Tangent to a curve.svg|thumb|260px|width=150|length=150|La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).]]
== Conceptos y aplicaciones ==
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del [[Análisis matemático|cálculo infinitesimal]]. El otro concepto es la "antiderivada" o [[integral]]; ambos están relacionados por el [[teorema fundamental del cálculo]]. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de [[Límite matemático|límite]], el cual separa las [[matemáticas]] previas, como el [[Álgebra]], la [[Trigonometría]] o la [[Geometría Analítica]], del [[Cálculo matemático|Cálculo]]. Quizá la derivada es el concepto más importante del [[Cálculo matemático|Cálculo Infinitesimal]].
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una [[magnitud (matemática)|magnitud]] o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de [[Física]], [[Química]] y [[Biología]], o en ciencias sociales como la [[Economía]] y la [[Sociología]]. Por ejemplo, cuando se refiere a la [[gráfica]] de dos dimensiones de <math>f</math>, se considera la derivada como la pendiente de la recta [[tangente]] del gráfico en el punto <math>x</math>. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el [[Límite matemático|límite]] cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta [[secante]] tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como [[concavidad]] o [[convexidad]].
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una [[Función discontinua|discontinuidad]] o un [[punto anguloso]]. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son [[Aproximación lineal|aproximables linealmente]].
== Introducción geométrica a las derivadas ==
[[Archivo:Tangent to a curve.svg|thumb|260px|width=150|length=150|La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).]]
Supongamos que tenemos una [[Función matemática|función]] y la llamamos <math>f\,</math>. La derivada de <math>f\,</math> es otra función que llamaremos <math>f'\,</math>.
<math>f'(x)\,</math> representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de <math>f\,</math> en el punto <math>x\,</math>.
| |||