Diferencia entre revisiones de «Vector unitario»
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En [[álgebra lineal]] y en la [[Física]], un '''vector unitario''' o '''versor''' es un [[Vector (física)|vector]] de [[Módulo (vector)|módulo]] [[uno]].
En ocasiones se lo llama también '''vector normalizado'''.
== Notación ==
Un vector unitario se denota frecuentemente con un [[acento circunflejo]] sobre su nombre, como <math>\mathbf{\hat r}</math> (se lee "r vector" o "vector r"). La notación mediante el uso de una [[breve]] (<math>\mathbf{\breve r} \,</math>) también es común, especialmente en desarrollos manuscritos. La tendencia actual es representar el vector en la dirección del vector <math>\mathbf r \,</math> en la forma <math>\mathbf u_{\text{r}} \,</math>.
== Definición ==
Habiendo definido el concepto de vector unitario al comienzo de este artículo y habiendo presentado la notación usual en la sección anterior, presentamos en esta sección una definición simbólica de vector unitario.
:Sea el vector '''v''' ∈ <big>ℝ</big><sup>n</sup>. Se dice que '''v''' es un '''vector unitario''' y se lo denota mediante <math>\mathbf{\hat v}</math> si y solamente si |'''v'''| = 1.
O en forma más compacta:
:<math>\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n \Rightarrow \mathbf{v} \equiv \mathbf{\hat v} \Leftrightarrow | \mathbf{v} | = 1</math>
== Versor asociado a un vector ==
Con frecuencia resulta conveniente disponer de un vector unitario que tenga la misma [[Vector (física)#Propiedades de un vector|dirección]] y [[Vector (física)#Propiedades de un vector|sentido]] que un vector dado <math>\mathbf v\,</math>. A tal vector se lo llama ''versor asociado al vector'' <math>\mathbf v\,</math> y se puede representar bien sea por <math>\hat\mathbf v\,</math> o por <math>\mathbf u_v\,</math> e indica una dirección en el espacio.
La operación vectorial que permite modificar el módulo de un vector sin alterar su dirección y sentido es [[Vector (física)#Producto por un escalar|dividirlo]] por su módulo, de modo que
{{Ecuación|<math>\mathbf{\hat v} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}</math>||}}
Al proceso de obtener un versor asociado a un vector se lo llama '''normalización del vector''', razón por la cual es común referirse a un vector unitario como ''vector normalizado''.
El método para transformar una [[base ortogonal]] (obtenida, por ejemplo mediante el [[método de ortogonalización de Gram-Schmidt]]) en una [[base ortonormal]] (es decir, una [[Base (álgebra)|base]] en la que todos los vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos los vectores de la base utilitando la ecuación anterior.
== Producto escalar de dos vectores ==
En el [[espacio euclídeo]], el [[producto escalar]] de dos vectores unitarios es simplemente el [[coseno]] del [[ángulo]] entre ellos. Esto es consecuencia de la definición de producto escalar y del hecho de que el módulo de ambos vectores es la unidad:
:<math>\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = | \mathbf{\hat u} | | \mathbf{\hat v} | \cos \theta</math>
Pero:
:<math>| \mathbf{\hat u} | = | \mathbf{\hat v} | = 1</math>
Por lo tanto:
:<math>\mathbf{\hat u} \cdot \mathbf{\hat v} = \cos \theta</math>
donde ''θ'' es el ángulo entre ambos vectores.
=== Proyección escalar ===
De lo anterior, resulta que el producto de un vector por un vector es la [[proyección escalar]] del vector sobre la dirección determinada por el vector.
:<math>\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | | \mathbf{\hat n} | \cos \theta</math>
Como el módulo del vector <math>\mathbf{\hat n}</math> es la unidad, la ecuación anterior se transforma en:
:<math>\mathbf F \cdot \mathbf{\hat n} = | \mathbf F | \cos \theta</math>
de donde es evidente lo afirmado al comienzo de este apartado.
Este resultado es muy frecuente en [[física]], donde en necesario operar, por ejemplo, con las componentes [[ortogonal]]es a una superficie.
== Versores cartesianos ==
Los versores asociados con las direcciones de los ejes coordenados cartesianos <math>x,\,y,\,z\,</math> se designan por <math>\mathbf i,\,\mathbf j,\,\mathbf k\,</math>, respectivamente.
Los versores cartesianos permiten expresar [[vector|analíticamente]] los vectores por medio sus componentes cartesianas.
Ejemplo: la expresión analítica del vector <math>{\mathbf v = (1,-2,3)\,}</math> es
{{Ecuación|<math>{\mathbf v =\mathbf i -2\mathbf j +3\mathbf k}</math>||}}
== Véase también ==
*[[Vector (física)|Vector]]
*[[Base ortonormal]]
*[[Coordenadas]]
*[[Coordenadas cartesianas]]
*[[Coordenadas polares]]
*[[Coordenadas curvilíneas]]
[[Categoría:Física]]
[[Categoría:Matemáticas]]
[[Categoría:Vectores]]
[[ar:متجه الوحدة]]
[[bg:Единичен вектор]]
[[ca:Vector unitari]]
[[da:Enhedsvektor]]
[[de:Einheitsvektor]]
[[en:Unit vector]]
[[eo:Unuobla vektoro]]
[[fi:Yksikkövektori]]
[[fr:Vecteur unitaire]]
[[he:וקטור יחידה]]
[[id:Vektor satuan]]
[[is:Einingarvigur]]
[[it:Versore]]
[[ja:単位ベクトル]]
[[ko:단위벡터]]
[[lt:Vienetinis vektorius]]
[[lv:Vienības vektors]]
[[nl:Eenheidsvector]]
[[nn:Einingsvektor]]
[[pl:Wersor]]
[[pt:Vetor unitário]]
[[ru:Единичный вектор]]
[[sk:Jednotkový vektor]]
[[sl:Enotski vektor]]
[[sv:Enhetsvektor]]
[[th:เวกเตอร์หนึ่งหน่วย]]
[[uk:Одиничний вектор]]
[[zh:单位向量]]
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