Diferencia entre revisiones de «Álgebra de Lie»
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En [[matemática]], un '''álgebra de Lie''' es la estructura algebraica que describe un conjunto de [[transformación infinitesimal|transformaciones infinitesimales]]. Su uso principal reside en el estudio de objetos geométricos tales como [[grupos de Lie]] y [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]]. El término "álgebra de Lie" (referido a [[Sophus Lie]]) fue creado por [[Hermann Weyl]] en los años 30, para lo que se denominaba "grupo infinitesimal".
== Definición ==
Un álgebra de Lie '''A''' es un [[espacio vectorial]] sobre un cierto [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]] '''F''' junto con una operación binaria [·, ·] : '''A''' × '''A''' <tt>-></tt> '''A''', llamada '''corchete de Lie''', que satisface las propiedades siguientes:
* es bilineal, es decir, [''a x'' + ''b y'', ''z''] = ''a'' [''x'', ''z''] + ''b'' [''y'', ''z''] y [''z'', ''a x'' + ''b y''] = ''a'' [''z'', ''x''] + ''b'' [''z'', ''y''] para todo ''a'', ''b'' en '''F''' y todo ''x'', ''y'', ''z'' en '''A'''.
* satisface la [[identidad de Jacobi]], es decir, [[''x'', ''y''], ''z''] + [[''z'', ''x''], ''y''] + [[''y'', ''z''], ''x''] = 0 para todo ''x'', ''y'', ''z'' en '''A'''.
* [''x'', ''x''] = 0 para todo ''x'' en '''A'''.
Observe que la primera propiedad y la tercera juntas implican [''x'', ''y''] = − [''y'', ''x''] para todo ''x'', ''y'' en '''A''' ("anti-simetría") si el cuerpo '''F''' es de característica diferente de dos. Observe también que la multiplicación representada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, <nowiki>[[</nowiki>''x'', ''y''], ''z''] no necesariamente es igual a [''x'', [''y'', ''z'']].
== Ejemplos ==
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