Diferencia entre revisiones de «Péndulo esférico»
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[[Archivo:Foucault pendulum animated.gif|thumb|Péndulo esférico animado.]]
El '''péndulo esférico''' es una variante del [[péndulo simple]] en el que el movimiento de la masa pendular está confinado al [[segmento esférico]] delimitado entre dos paralelos. En consecuencia, es un sistema con dos [[grados de libertad]].
== Fundamento teórico ==
Existen dos [[integral de movimiento|integrales o constantes de movimiento]]: la energía ''E'' y la componente del [[momento angular]] paralela al eje vertical ''M<sub>z</sub>''. La [[lagrangiano|función lagrangiana]] viene dada por:
{{ecuación|<math>L = \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta}^2+ \dot{\phi}^2\sin^2\theta)+mgl\cos\theta</math>||left}}
donde <math>\phi</math> es el ángulo polar y <math>\theta</math> es el ángulo que forma el hilo o barra del péndulo con la vertical. Las ecuaciones de movimiento, obtenidas introduciendo el lagrangiano anterior en las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] son:
[[Archivo:Mognew pendulo esferico.jpg|thumb|300px|Diagrama ilustrativo del péndulo esférico.]]
{{ecuación|<math>\begin{matrix}
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\theta} - \cfrac{\part L}{\part\theta}=0
&\Rightarrow &
l\ddot\theta - l\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta + g \sin\theta = 0
\\ \\
\cfrac{d}{dt}\cfrac{\part L}{\part\dot\phi} - \cfrac{\part L}{\part\phi}=0
&\Rightarrow &
\cfrac{d}{dt}(ml^2\dot{\phi}\sin^2\theta) = 0
\end{matrix}</math>||left}}
La segunda ecuación expresa la constancia de la componente ''Z'' del momento angular y lleva a la relación entre la velocidad de giro polar y el momento angular
{{ecuación|<math>\dot\phi = \frac{M_z}{ml^2\sin^2\theta}</math>||left}}
Así, podemos reescribir la lagrangiana como:
{{ecuación|<math>
L = K(\dot\theta)+ U_{ef}(\theta) = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2
+ \frac{M_z^2}{2ml^2\sin^2\theta}-mgl\cos\theta</math>||left}}
de modo que el problema queda reducido a un problema unidimensional.
=== Período ===
El movimiento de un péndulo esférico en general no es periódico, ya que resulta de la combinación de dos [[movimiento periódico|movimientos periódicos]] de períodos generalmente incomensurables. Sin embargo el movimiento resulta [[movimiento cuasiperiódico|cuasiperiódico]]; esto es, observadas una posición y una velocidad en el movimiento, existe un tiempo ''T'' tal que el péndulo estará a una distancia tan pequeña como se desee de esa posición y tendrá una velocidad tan parecida como se quiera, pero sin repetirse exactamente. Dado que la región de movimiento es compacta, el conjunto de puntos de la trayectoria de un péndulo esférico constituye un conjunto denso sobre una área esférica comprendida entre dos [[casquete esférico|casquetes esféricos]].
=== Solución de la ecuación de movimiento ===
Las ecuaciones de movimiento pueden expresarse en términos de integrales elípticas de [[integral elíptica de primera especie|primera especie]] y [[integral elíptica de tercera especie|tercera especie]]:
{{ecuación|<math>t = \sqrt\frac{ml^2}{2} \int \frac{d\theta}{\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}} \qquad
\phi = \frac{M_z}{l\sqrt{2m}} \int \frac{d\theta}{\sin^2\theta\sqrt{E-U_{ef}(\theta)}}</math>||left}}
== Referencias ==
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