Diferencia entre revisiones de «Espacio vectorial»
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[[Archivo:Vector space illust.svg|thumb|Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.]]
Un '''espacio vectorial''' (o '''espacio lineal''') es el objeto básico de estudio en la rama de la [[matemática]] llamada [[álgebra lineal]]. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama [[vector]]es. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de [[axioma]]s que generalizan las propiedades comunes de las [[tupla]]s de [[números reales]] así como de los vectores en el [[espacio euclídeo]]. Un concepto importante es el de ''dimensión''.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: [[geometría analítica]], [[matriz (matemática)|matrices]] y [[sistemas de ecuaciones lineales]]. La primera formulación moderna y axiomática se debe a [[Giuseppe Peano]], a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del [[análisis funcional]], principalmente de los [[espacios de funciones]]. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la [[convergencia]]. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada [[topología]], permitiendo tener en cuenta cuestiones de [[proximidad]] y [[continuidad]]. Estos [[espacio vectorial topológico|espacios vectoriales topológicos]], en particular los [[espacios de Banach]] y los [[espacios de Hilbert]] tienen una teoría más rica y elaborada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la [[ciencia]] y la [[ingeniería]]. Se utilizan en métodos como las [[series de Fourier]], que se utiliza en las rutinas modernas de [[compresión de imágenes]] y sonido, o proporcionan el marco para resolver [[ecuaciones en derivadas parciales]]. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como [[tensor]]es, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de [[Variedad (matemática)|variedades]] mediante técnicas de linealización.
== Motivación y definición ==
{{VT|Vector (espacio euclídeo)}}▼
[[Archivo:Vector addition with coordinate system.svg|thumb|200px|right|El vector negro (''x'', ''y'') = (5, 7) puede expresarse como combinación lineal de dos pares diferentes de vectores (5·(1, 0) y 7·(0, 1) – azul; 3·(−1, 1) y 4·(2, 1) – amarillo).]]
El plano '''R'''<sup>2</sup>, consistente en los pares (''x'', ''y'') de [[números reales]], es el típico ejemplo de espacio vectorial: cualquiera dos pares de números reales pueden sumarse,
:(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) + (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) = (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>),
y cualquier par (''x'', ''y'') puede escalarse, multiplicarse por un número real ''s'', para obtener otro vector (''sx'', ''sy'').
Existe además un vector, el (0,0), llamado vector nulo que cumple que al sumarse con cualquier otro vector no lo altera. Todo vector, por ejemplo el (1, 0), tiene su opuesto, el (-1, 0), que sumados dan como resultante el vector nulo (0, 0).
La noción de espacio vectorial es una generalización de esta idea. Es más general de varias maneras: en primer lugar, en lugar de los números reales otros [[cuerpo (matemática)|cuerpos]], como los [[números complejos]] o los [[cuerpos finitos]], se permiten. En segundo lugar, la [[dimensión]] del espacio, que es de dos en el ejemplo anterior, puede ser arbitraria, incluso infinita. Otro punto de vista conceptual importante es que los elementos de los espacios vectoriales no suelen estar expresados como [[combinaciones lineales]] de un conjunto de vectores, es decir, no hay preferencia de representar el vector (''x'', ''y'' ) como
::(''x'', ''y'') = ''x'' · (1, 0) + ''y'' · (0, 1)
:o como
::(''x'', ''y'') = (−1/3·''x'' + 2/3·''y'') · (−1, 1) + (1/3·''x'' + 1/3·''y'') · (2, 1)
=== Definición de espacio vectorial ===
Un espacio vectorial sobre un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] '''K''' (como el cuerpo de los [[número real|números reales]] o los [[número complejo|números complejos]]) es un [[conjunto]] '''V''' no vacío dotado de dos [[operación binaria|operaciones]] internas:
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Los elementos de '''V''' se llaman vectores.
▲{{VT|Vector (espacio euclídeo)}}
=== Definición de subespacio vectorial ===
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