Diferencia entre revisiones de «Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado»
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== Movimiento acelerado en [[Teoría de la Relatividad|Mecánica Relativista]] ==
En [[Teoría de la Relatividad|Mecánica Relativista]] no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del [[movimiento uniformemente acelerado|MUA]] de la mecánica clásica.
La [[ecuación de movimiento]] relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:
{{ecuación|
<math>\begin{cases}
\cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\
v(0) = 0 \end{cases}</math>
|4|left}}
Donde ''w'' es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:
{{ecuación|
<math>a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}</math>
||left}}
La integral de {{eqnref|4}} es sencilla y viene dada por:
{{ecuación|
<math>\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad
v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}} </math>
|5|left}}
E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición ''x'' = 0, se llega a:
{{ecuación|
<math>x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]</math>
|6|left}}
En este caso el [[tiempo propio]] de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado ''t'' mediante la expresión:
{{ecuación|
<math>\tau = \frac{2c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right] </math>
|7|left}}
Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.
=== Observadores de Rindler ===
El tratamiento de los [[observador]]es uniformemente acelerados en el [[espacio-tiempo de Minkowski]] se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la [[tensor métrico|métrica]] de dicho [[espacio-tiempo]]:
{{ecuación|
<math> ds^2 = -c^2dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \qquad (T, X, Y, Z)\in\R^4</math>
||left}}
Considérese ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:
{{ecuación|
<math>\mathcal{R}_{Rind} = \{(T,X,Y,Z)\in\R^4|\ 0 < X < \infty, \; -X < T < X\}</math>
||left}}
Y defínase sobre ella un [[cambio de coordenadas]] dado por las transformaciones siguientes:
{{ecuación|
<math> \begin{cases}
t = \cfrac{c}{\alpha}\operatorname{arctanh}\left(\cfrac{cT}{X}\right),
\; x=\cfrac{c^2}{\alpha} \ln \left(\cfrac{\alpha}{c^2}\sqrt{X^2-c^2T^2} \right)\;
y = Y, \; z = Z\\
T = \cfrac{c}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \sinh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \;
X = \cfrac{c^2}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \cosh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \;
Y = y, \; Z = z \end{cases}</math>
||left}}
Donde:
:<math>\alpha\,</math>, es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.<ref>[http://www.math.wisc.edu/~jeanluc/talks/rindler.pdf What a Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum]</ref>
:<math>(t,x,y,z)\,</math>, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.
Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:
{{ecuación|
<math> ds^2 = e^\frac{2\alpha x}{c^2}(-dt^2+dx^2)+dy^2+dz^2, \qquad (t, x, y, z) \in \times\R^4</math>
||left}}
Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya [[cuadriaceleración]] obtenida como [[derivada covariante]] de la [[cuadrivelocidad]] está relacionada con el valor de la coordenada ''x'':
{{ecuación|
<math> \nabla_{\mathbf{e}_0} \mathbf{e}_0 = \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}\ \mathbf{e}_1, \qquad
\mathbf{a} = (a^0; a^1, a^2, a^3) = \left(0; \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}, 0, 0\right)</math>
||left}}
=== Horizonte de Rindler ===
Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene [[horizonte de eventos]], es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):
{{ecuación|
<math>H^-_{Rind} = \{(T, X, Y, Z)|X^2-c^2T^2 = 0\} = \{(t,x,y,z)| x = -\infty \}</math>
||left}}
tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de eventos es del mismo tipo que el horizonte de eventos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.
El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.
== Movimiento acelerado en mecánica cuántica ==
En [[1975]], [[Stephen Hawking]] conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un [[agujero negro]] debía aparecer una producción de partículas cuyo [[espectro de frecuencias|espectro]] de energías correspondería con la de un [[cuerpo negro]] cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, [[Paul Davies]] probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).<ref>[http://cosmos.asu.edu/publications/papers/ScalarParticleProductionInSchwarzchild%2015.pdf Scalar production in Schwarzschild and Rindler metrics]</ref>
En [[1976]], [[Bill Unruh]] basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un [[observador]] uniformemente acelerado observaría [[Radiación de Hawking|radiación de tipo Hawking]] donde un observador [[sistema de referencia inercial|inercial]] no observaría nada. En otras palabras el [[efecto Unruh]] afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.<ref>[http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0102/0102044v1.pdf Detección experimental de la radiación Unruh]</ref> La [[temperatura]] efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:
{{ecuación|
<math>kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}</math>
||left}}
Donde:
:<math>k\,</math>, [[constante de Boltzmann]].
:<math>\hbar</math>, [[constante de Planck]] racionalizada.
:<math>c\,</math>, velocidad de la luz.
:<math>T\,</math>, [[temperatura absoluta]] medida del vacío medida por el observador acelerado.
:<math>a\,</math>, aceleración del observador uniformemente acelerado.
De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la [[radiación electromagnética|radiación]] emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.
== Véase también ==
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