Diferencia entre revisiones de «Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado»
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El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso partícular del [[movimiento uniformemente acelerado]] (MUA).
== Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana ==
En mecánica clásica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:
# La [[aceleración]] y la [[fuerza resultante]] sobre la partícula son constantes.
# La [[velocidad]] varía linealmente respecto del tiempo.
# La [[posición]] varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).
El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una [[aceleración]] constante, cuyas relaciones [[Dinámica (física)|dinámicas]] y [[Cinemática|cinemáticas]], respectivamente, son:
{{ecuación|
<math> a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}</math>
|1|left}}
La [[velocidad]] v para un instante t dado es:
{{ecuación|
<math>v(t)=at+ v_0 \,</math>
|2a|left}}
siendo <math>v_0\,</math> la velocidad inicial.
Finalmente la [[posición]] ''x'' en función del tiempo se expresa por:
{{ecuación|
<math> x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0 </math>
|3|left}}
donde <math>x_0\,</math> es la posición inicial.
Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de {{eqnref|2a}} y sustituyendo el resultado en {{eqnref|3}}:
{{ecuación|
<math>v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,</math>
|2b|left}}
{{Plegable|título=Derivación de las ecuaciones de movimiento |contenido=
<div align="left">
=== Deducción de la velocidad en función del tiempo ===
Se parte de la definición de aceleración
{{ecuación|<math>a=\cfrac {dv}{dt}</math>||left}}
y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden
{{ecuación|<math>\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a dt </math>}}
se resuelve la integral
{{ecuación|<math> v =a(t-t_0)+ v_0 \ </math>}}
donde <math>v_0\,</math> es la velocidad del móvil en el instante <math>t=t_0\,</math>.
En el caso de que el instante inicial corresponda a <math>t_0=0\,</math>, será
{{ecuación|<math> v =at + v_0 \ </math>}}
=== Dedución de la posición en función del tiempo ===
A partir de la definición de velocidad
{{ecuación|<math>v=\cfrac {dx}{dt}</math>||left}}
se sigue
{{ecuación|<math>\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v dt </math>}}
en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para <math>v=v(t)\,</math>
{{ecuación|<math>\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [a(t-t_0)+ v_0] dt </math>}}
y resolviendo la integral
{{ecuación|<math>x =\frac{1}{2}a(t-t_0)^2+ v_0(t-t_0)+x_0</math>}}
donde <math>x_0\, </math> la posición del móvil en el instante <math>t_0\,</math>.
En el caso de que en el tiempo incial sea <math>t_0=0\,</math> la ecuación será:
{{ecuación|<math>x =\frac{1}{2}at^2+ v_0t + x_0</math>}}
=== Ecuación no temporal del movimiento ===
Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, sin que aparezca el tiempo.
Se parte de la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por <math>dx\,</math> se puede eliminar el tiempo
{{ecuación|<math>
a =
\frac {dv}{dt} =
\frac {dv}{dt} \frac {dx}{dx} =
\frac {dx}{dt} \frac {dv}{dx} =
v\frac {dv}{dx}
</math>||left}}
se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que <math>a = \text{cte.} \,</math>
{{ecuación|<math>
\int_{v_0}^v vdv =
\int_{x_0}^x a dx =
a \int_{x_0}^x dx
</math>}}
y se integra
{{ecuación|<math>
\left .
\frac{1}{2 } \; v^2
\right ]^{v}_{v_0}
=
\left .
a \; x
\right ]^{x}_{x_0}
</math>}}
resultando
{{ecuación|<math>
\frac{1}{2 }(v^2 - v_0 ^2) =
a(x-x_0)
</math>}}
y ordenando
{{ecuación|<math>
v^2 =
v_0 ^2 + 2a(x-x_0)
</math>}}
</div>
}}
== Movimiento acelerado en [[Teoría de la Relatividad|Mecánica Relativista]] ==
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