Diferencia entre revisiones de «Número áureo»
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Línea 101:
<math>\ a^2 = 4 + 2a</math>
Ordenando:
<math>\ a^2 - 2a -4 = 0</math>
Con la fórmula Cuadrática:
<math>a = 1 + \sqrt{5}</math>
=== Propiedades y representaciones ===
==== Ángulo de oro ====
Línea 107 ⟶ 116:
==== Propiedades algebraicas ====
* Φ es el único [[número real]] positivo tal que:
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1\ </math>
La expresión anterior es fácil de comprobar:
:<math>\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}</math>
:<math>\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}</math>
* Φ posee además las siguientes propiedades:
:<math>\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \ </math>
:<math>\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \ </math>
* Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera [[Recursión|sucesión recurrente]] de potencias.
El caso más simple es: <math>\Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}</math>,
cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
<math>a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n</math>, donde <math>a_i</math> es cualquier [[número real]] o [[número complejo|complejo]] y k es un [[número natural]] menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es <math>k=2</math>, <math>a_1 = 1</math> y <math>a_2 = 1</math>.
Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
<math>\Phi^n = \Phi^{n-2} + 2 \Phi^{n-3} + \Phi^{n-4}</math>. Aquí <math> k = 4</math>, <math>a_1 = 0</math>, <math>a_2 = 1</math>, <math>a_3 = 2</math> y <math>a_4 = 1</math>.
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
<math>\Phi^n = \Phi^{n-3} + 3 \Phi^{n-4} + 3 \Phi^{n-5} +
\Phi^{n-6}</math>
En general:
Línea 175 ⟶ 217:
:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi</math>
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán [[Johannes Kepler]], sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.
A mediados del siglo XIX el matemático francés [[Jacques Philippe Marie Binet]] redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por [[Leonhard Euler]], y por otro matemático francés, [[Abraham de Moivre]]. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:
:<math>F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad</math>
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