Diferencia entre revisiones de «Métodos de integración»
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{{ecuación|<math> \frac{d\,F(x)}{dx} = f(x)</math>.}}
== Integración directa ==
== Método de integración por prostitución ==▼
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a ''f''(''x'') (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
; Ejemplo que vale callampa: ''Calcular la integral <math>\int \sec^2(x) \, dx</math>.''
: En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de <math>\tan(x)</math> es <math>\sec^2(x)</math>. Por tanto: <math>\int \sec^2(x)\,dx = \tan(x).</math>
; Ejemplo: ''Calcular la integral <math> \int\frac{1}{x}\, dx</math>.''
: Una fórmula estándar sobre derivadas establece que <math> \frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}</math>. De este modo, la solución del problema es <math>\int \frac{1}{x}\, dx = \ln(x)</math>.
No obstante, puesto que la función <math> \frac{1}{x} </math> esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
El '''método de integración por sustitución''' o '''por cambio de variable''' se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una [[integral]] o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una [[lista de integrales|integral de tabla]] para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la [[regla de la cadena]] en la derivación.
=== Procedimiento práctico ===
Supongamos que la integral a resolver es:
<center><math> \int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx </math></center>
En la integral reemplazamos <math>\ 2x^2+3</math> con (<math>u</math>):
<center><math> \int^3_{-2} x \cos (u) dx </math> (1)</center>
Ahora necesitamos sustituir también <math>\ dx</math> para que la integral quede sólo en función de <math>\ u</math>:
Tenemos que <math>\ 2x^2+3=u</math> por tanto derivando se obtiene <math>\ 4x dx=du</math>
Se despeja <math>\ dx=\frac{du}{4x}</math> y se agrega donde corresponde en (1):
<center><math> \int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x} </math></center>
Simplificando:
<center><math> \int^3_{-2} \cos (u) \frac{du}{4} </math></center>
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la [[primitiva]] del [[coseno]] es el [[sinusoide|seno]].
Como último paso antes de aplicar la [[regla de Barrow]] con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo <math>\ u=2x^2+3 </math> :
<math>u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\! </math> (límite inferior)
<math>u_2=2(3)^2 + 3 = 21 \,\!</math> (límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
<center><math> \frac{1}{4} \int^{21}_{11} \cos (u) du = \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11)) </math></center>
== Método de integración por partes ==
El método de '''integración por partes''' es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
<math>\int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu</math>.
<math>\ d(uv) = u dv + v du</math>
<math>\int_a^b u d(v) = uv - \int_a^b vdu </math>.
Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:
<math>\int_a^b u dv = uv - \int_a^b v du</math>.
"Sentado (<math>\ integral</math>) un (<math>\ u</math>) día vi (<math>\ dv</math>) (=) un (<math>\ u</math>) valiente (<math>\ v</math>) soldado (<math>\ integral</math>) vestido (<math>\ v</math>) de uniforme (<math>\ du</math>)" .
"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" .
Eligiendo adecuadamente los valores de <math>\ u</math> y <math>\ dv</math>, puede simplificarse mucho la resolución de la [[integral]].
*Para elegir la función <math> \ u \ </math> se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:
# '''A'''rcoseno, arcocoseno..., '''L'''ogarítmicas, '''P'''olinómicas, '''E'''xponenciales, '''S'''eno, coseno, tangente... ⇒ '''A L P E S'''.
#:Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
# '''L'''ogarítmicas, '''I'''nversas trigonométricas, '''A'''lgebráicas, '''T'''rigonométricas, '''E'''xponenciales. ⇒ '''L I A T E'''.
#:Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra LIATE.
# '''I'''nversas trigonométricas, '''L'''ogarítmicas, '''P'''otenciales, '''E'''xponenciales, '''T'''rigonométricas ⇒ '''I L P E T'''
#:Nota: Elegimos siempre "u" como la funcion situada más a la izquierda de la palabra ILPET.
== Notas ==
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