Diferencia entre revisiones de «Teoría del funcional de la densidad»
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Existen varios [[programa informático|programas]] (o códigos) computacionales que utilizan la teoría del funcional de la densidad para calcular propiedades de sistemas electrónicos como moléculas, sólidos o cúmulos.
=== Un Ejemplo de cálculos de primeros principios utilizando la teoría del funcional de la Densidad ===
Utilizando la teoría del funcional de la densidad, es posible calcular las propiedades estructurales de sistemas físicos. En particular la teoría es útil para describir dichas propiedades en los materiales semiconductores. Este ejemplo muestra resultados sobre la estructura más estable del Silicio y el tipo de enlace que presenta en la estructura de tipo diamante.
La ecuación de Schrödinger es el punto de partida para investigar las propiedades estructurales del Silicio. La teoría del funcional de la densidad nos permite resolver mediante calculos de [[primeros principios]] la ecuación de Schrödinger para el sistema, estos calculos se realizaron para cuatro diferentes estructuras, fcc, bcc, sc y [[diamante]] con el objetivo de verificar que la estructura más estable es la de tipo diamante. Los resultados de los calculos de la energía total en función del volumen de la celda unitaria se obtienen mediante el uso de programas computaciones especializados, tales como WIEN2K o espresso-2.1.4. Utilizando estos programas, también, se realizaron y obtuvieron resultados de cálculos computacionales para encontrar la densidad de carga sobre el plano cristalino (110), esto con el objeto de investigar el tipo de enlace que presenta el silicio en la estructura diamante.
En el caso la estructura tipo diamante se obtuvo la energía y la densidad de carga, en las otras tres solamente se obtuvo la energía.
==== Obtención de la Energía en función del Volumen de la celda primitiva. ====
Para cada estructura se realizarán ciclos autoconsistentes que resuelven las ecuaciones de Khon-Sham para diferentes volúmenes. A partir de los resultados se obtiene la energía de cohesión, Que es la resta de la energía total para la estructura menos la energía atómica.
Los datos obtenidos para las diferentes estructuras fueron ajustados a la ecuación de Murnaghan para la energía de cohesión, obteniéndose los valores del módulo de bulto y su derivada. La ecuación de Murnaghan para la energía es la siguiente:
<math>E\left( V\right)=E_{0}+\frac{B_{0}V}{B_{0}^{\prime }}%
\left[ \frac{\left( \frac{V_{0}}{V}\right) ^{B_{0}^{\prime
}}}{B_{0}^{\prime }-1}+1\right] -\frac{B_{o}V_{0}}{B_{0}^{\prime}-1}</math>
En la figura siguiente se muestra el comportamiento de la energía en función del volumen de la celda unitaria para las diferentes estructuras, comparando los resultados de los cálculos de la energía de cohesión en función del volumen de las celdas primitivas, para todas las estructuras estudiadas, se observa que la estructura más estable para el silicio es la de tipo Diamante, ya que esta presenta la energía más baja de las gráficas y por ello la más estable:
Y los resultados de los cálculos realizados se resumen en la tabla siguiente:
[[Archivo:Ejemplo2.jpg]]
El valor experimental para el parámetro de red de la estructura diamante es de 5.43 [A]4.
Al comparar los resultados obtenidos encontramos que la estructura más estable es la de tipo diamante, esta se encuentra -1.214 [eV] por debajo de la estructura cúbica simple. Con lo que se comprueba que la estructura mas etable es la de tipo diamante.
'''Obtención de la Densidad de Carga y Densidad de Estados.'''
El tipo de [[enlace]] y la naturaleza química de los [[semiconductores]] es un punto de interés en la física del estado sólido. El énfasis en el tipo de [[enlace]] es motivado por la idea de que al tener una descripción del enlace uno puede tener mayor información de la distribución de carga electrónica dentro de los sólidos lo cual nos conduciría a un mejor entendimiento de las propiedades físicas y químicas de los objetos en estudio. Esta información se puede obtener también utilizando cálculos de [[primeros principios]].
Para poder obtener la información deseada proponemos que nuestro sistema de estudio sea el de los [[cristales covalentes]], los átomos de [[silicio]] se localizarían en las posiciones de los nodos de la red cristalina. La característica principal de un cristal covalente es que los átomos dentro de este se encuentran ligados por medio de un [[enlace covalente]]. El [[enlace]] más fuerte ocurre cuando los espines de los electrones en el dentreo de él son antiparalelos. El [[enlace]] depende de la orientación relativa de los espines no por que exista una interacción de fuerza magnética fuerte debida a los dipolos magnéticos formados, sino por que el principio de exclusión de Pauli modifica la distribución de carga de acuerdo a la orientación de espines. Esta dependencia de espines de la energía coulombiana es llamada la interacción de intercambio. El principio de exclusión de Pauli genera una interacción de tipo repulsiva fuerte entre los átomos y las capas ocupadas por los electrones. Si las capas no se encuentran ocupadas, el traslape de los electrones puede ser reacomodado sin tomar en cuenta a los electrones excitados y el [[enlace]] seria más corto.
Cálculos de primeros principios para la [[densidad de carga]] son utilizados ampliamente para poder obtener información sobre la distribución de electrones dentro de los cristales al mismo tiempo que se utiliza para calcular las cargas de enlace covalente. La distribución espacial de la [[densidad de carga]] para una banda de valencia n puede ser escrita como
<math>p\left(\vec{r}\right)=\sum_{i=1}^{N}\phi _{i}\left(
\vec{r}\right)^{\ast }\phi _{i}\left(\vec{r}\right)
</math>
Donde la suma corre sobre todos los estados permitidos i en la banda n.
Los resultados de los cálculos son detallados en las superficies de nivel de la [[densidad de carga]] de valencia total. La gráfica se realizó con la paquetería contenida en espresso-2.1.4 con el programa PWscF. La densidad de carga es graficada en curvas de nivel para el elemento en el [[plano cristalino]] (110).
[[Archivo:Ejemplo3.jpg]]
Las esferas en negro representan las posiciones de los núcleos de los átomos de [[silicio]] y las regiones sombreadas representan la densidad de carga de los electrones. En la gráfica se observa claramente que en la región intersticial entre los átomos existe un enlace de tipo covalente, donde la densidad de
carga se encuentra concentrada justo por la mitad entre los iones.
[[Archivo:Ejemplo4.jpg]]
La gráfica anterior muestra la [[densidad de carga]] como función de x donde la variable x va de una posición del Si dentro del cristal a otra posición del silicio.
La [[densidad de estados]] (DOS) es una propiedad utilizada comúnmente en física de materia que cuantifica que tan estrechamente se encuentran los niveles de energía empaquetados en algún sistema físico. Es a menudo expresada como una función de la energía interna. Esto por lo general es usado con niveles de energía electrónicos en un sólido. Para este trabajo se calculó la densidad de estados para la estructura del diamante y los resultados se muestran en la gráfica siguiente.
[[Archivo:Ejemplo5.jpg]]
El nivel de Fermi para el silicio está marcado con la línea este tiene un valor de 5.48 [eV]. Los estados a la izquierda de ella representan los estados ocupados y los de la derecha representan a los desocupados. Mediante la´presentación de estas gráficas se concluye el ejemplo aquí desarrollado, estas nos dan una muestra visual de la estructura más estable, del tipo de [[enlace]] y la [[densidad de estados]] del [[silicio]] en la estructura tipo diamante. Todas estas propiedades fueron obtenidos con calculos de [[primeros principios]] dentro del formalismo de la teoría del funcional de la densidad.
== Comparación con otros métodos ==
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