Diferencia entre revisiones de «Bisectriz»
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[[Archivo:Bisection construction.gif|thumb|Construcción gráfica con [[regla y compás]].]]
La '''bisectriz''' de un [[ángulo]] es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el [[lugar geométrico]] de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las [[semirrecta]]s de un ángulo.
== Características ==
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes.
<center>[[Archivo:bisectriz_interior-exterior.png]]</center>
En la figura, la bisectriz interior al ángulo ''xOy'' (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos ''a'' la medida de ''xOz'', y ''b'' la de ''yOw'', observamos que ''2a'' + ''2b'' es la medida del ángulo'' xOx' '', que es plano. Dividimos por 2: ''zOw'' mide ''a'' + ''b'' = 90º.
== Aplicación en triángulos ==
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el [[incentro]] del triángulo y es el centro de la '''circunferencia inscrita''' al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
<center>[[Archivo:bisectrices.png]]</center>
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
== Propiedades ==
[[Archivo:Circbisec.svg|right]]
Considere el triángulo ABC y la [[circuncentro|circunferencia circunscrita]]. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A.
Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: ''La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita''
Este hecho se usa en la discusión de la [[circunferencia de los nueve puntos]]
== Véase también ==
* [[Teorema de la bisectriz]]
* [[Mediatriz]]
== Enlaces externos ==
* [http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Bisectriz_de_un_ángulo Bisectriz de un ángulo, en wikiEducared]
[[Categoría:Ángulos]]
[[ar:منصف]]
[[ast:Bisectriz]]
[[be-x-old:Раўнасечная]]
[[bg:Симетрала]]
[[ca:Bisectriu]]
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[[fr:Bissectrice]]
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[[ko:이등분]]
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