Diferencia entre revisiones de «Semejanza (geometría)»
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D)<center>[[Archivo:Triangulos_semejantes_2.png]]</center>
=== Casos ===
Podrán presentarse 3 casos:
==== Primer caso ====
r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.
Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos '''(1)''':
::<math> \wedge B = \wedge B</math> por carácter reflejo
::<math> \wedge BLM = \wedge A</math> por ser [[Ángulos correspondientes|correspondientes]] entre r || BC, secante AB
::<math>\wedge BML = \wedge C</math> por ser correspondientes entre r || BC, secante AC
Por otra parte, en virtud del corolario del [[Teorema de Tales]] se tiene:
:<math>\frac{BL}{BA}=\frac{BM}{BC}\qquad \bigotimes</math>
Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:
:<math>\frac{BM}{BC}=\frac{AN}{AC}\qquad \bigoplus</math>
Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en <math>\bigoplus</math> se obtiene:
:<math>\frac{BM}{BC}=\frac{LM}{AC}\qquad \bigodot</math>
::De <math>\bigotimes</math> y <math>\bigodot</math> se obtiene la consideración que llamaremos '''(2)''':
:<math>\frac{BL}{BA}=\frac{BM}{BC}=\frac{LM}{AC}</math>
Luego de '''(1)''' y '''(2)''', resulta:
:<math>BLM \sim BAC</math> por definición de semejanza.
==== Segundo caso ====
r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.
Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso '''I''' de la demostración, es:
::<math>(BAC \sim BLM) \Rightarrow (BLM \sim BAC)</math> por carácter simétrico.
==== Tercer caso ====
r corta a las rectas de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.
Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.
Quedan entonces <math>BNO \sim BAC</math> por el caso '''I''', semejanza que llamaremos <math>\otimes</math>.
Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:
* BN=BM por construcción
* α=α' por ser [[Ángulos opuestos por el vértice|opuestos por el vértice]].
* β=β' por ser [[Ángulos alternos internos|alternos internos]] entre r || s, secante MN
Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM <math>\oplus</math> por el primer corolario de la definición.
De <math>\otimes</math> y <math>\oplus</math>, y por carácter transitivo:
::'''BAC ~ BLM''' <math>\Rightarrow</math> '''BLM ~ BAC'''
== Geometrías no-euclídeas ==
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