Diferencia entre revisiones de «Teorema del transporte de Reynolds»
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'''El teorema de transporte de Reynolds''' relaciona, la [[derivada Lagrangiana]] de una [[integral]] de volumen de un sistema, con una [[integral en derivadas Eulerianas]]. En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva <math>\Eta</math> con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente <math>\eta</math>, una y otra relacionadas por la ecuación:
<math>
\Eta=\left( \int_V \rho \eta dV \right)
</math>
La expresión general de este teorema es:
<math>
\frac{D \Eta}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}\left( \int_V \rho \eta dV \right) + \int_{s} \vec{U} \rho \eta \hat{n} dS
</math>
== Demostración ==
::Consideremos un sistema en dos instantes de tiempo t y t+ [[Imagen:DT.jpg]]. Sea α alguna propiedad por unidad de volumen. El sistema puede tener un cambio de volumen y posición como se muestra en la figura:
[[Imagen:1frea.jpg]]
::La cantidad total de la propiedad α en el sistema en el instante t es:
[[Imagen:2frea.jpg]]
::Y la cantidad de α en el instante t+ [[Imagen:DT.jpg]] es:
[[Imagen:3frea.jpg]]
::La derivada material de la cantidad total de α en el sistema se puede expresar:
[[Imagen:4frea.jpg]]
::Que se obtiene de la definición de derivada:
[[Imagen:5frea.jpg]]
::En esta ecuación:
[[Imagen:6frea.jpg]]
::Representa el integrando fijo con cambio de volumen como se muestra en la figura:
[[Imagen:7frea.jpg]]
::Y estas dos integrales se pueden reducir a:
[[Imagen:8frea.jpg]]
::Si consideramos que un elemento dS de la superficie del sistema tiene dos posiciones diferentes en los dos instantes de tiempo considerados t y t+ [[Imagen:DT.jpg]], el barrido de ésta superficie entre los dos instantes conforma el elemento de volumen dV como se muestra en la figura:
[[Imagen:9frea.jpg]]
::Si [[Imagen:NGORRO.jpg]] es el vector normal a la superficie y [[Imagen:UGUION.jpg]] representa la velocidad, [[Imagen:UXN.jpg]] será la velocidad normal a la superficie. En el tiempo la superficie se mueve una distancia [[Imagen:UXNdt.jpg]] normal a la misma. Por lo que:
[[Imagen:10frea.jpg]]
::La integral se reduce a la integral sobre la superficie:
[[Imagen:11frea.jpg]]
::Tomando el límite se simplifica a:
[[Imagen:12frea.jpg]]
::Aplicando el teorema de Gauss esta integral toma la forma:
[[Imagen:13frea.jpg]]
::Dos términos de la ecuación pueden simplificarse como:
[[Imagen:14frea.jpg]]
::Con estas simplificaciones toma la forma:
[[Imagen:15frea.jpg]]
::En notación indical:
[[Imagen:16frea.jpg]]
== El lema de Reynolds ==
El '''Lema de Reynolds''' introducido por el ingeniero irlandés [[Osborne Reynolds]] que demuestra que la variación de flujo de una propiedad es igual a la variación de la propiedad dentro del flujo:
::<math> \frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V </math>
=== Demostración ===
Sea '''A''' una cierta propiedad genérica (escalar, vectorial o tensorial) de un
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::<math> \frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V </math>
[[Categoría:Teoremas]]▼
[[Categoría:Teoremas de la física|Reynolds, transporte]]
[[Categoría:Ecuaciones de dinámica de fluidos]]
[[de:Reynolds'scher Transportsatz]]
[[el:Θεώρημα μεταφοράς Reynolds]]
[[en:Reynolds transport theorem]]
[[fi:Reynoldsin kuljetusteoreema]]
[[it:Teorema del trasporto]]
[[ja:レイノルズの輸送定理]]
[[pl:Twierdzenie transportu Reynoldsa]]
[[sv:Reynolds transportteorem]]
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