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Diferencia entre revisiones de «Producto cartesiano»

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En [[teoría de conjuntos]], el '''producto cartesiano''' es un [[producto directo]] de [[conjunto]]s. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos ''X'' y ''Y'', denotado por ''X'' × ''Y'', es el conjunto de todos los [[par ordenado|pares ordenados]] en los que el primer componente pertenece a ''X'' y el segundo a ''Y'':
{{Redirect|直積|ベクトルの直積|直積 (ベクトル)}}
: <math> X \times Y = \{ (x,y) \mid x \in X \; \wedge \; y \in Y \} </math>
[[数学]]において、[[集合]]の'''デカルト積'''（デカルト-せき、{{lang-en-short|''Cartesian product''}}）または'''直積'''（ちょくせき、{{lang-en-short|''direct product''}}）とは、[[集合]]の集まり（集合[[族 (数学)|族]]）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合のことである。
 
El producto cartesiano recibe su nombre de [[René Descartes]], cuya formulación de la [[geometría analítica]] dio origen a este concepto.
二つの集合 ''A'', ''B'' に対し、
:<math>A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \wedge b \in B \}</math>
で定義される集合を ''A'' と ''B'' の直積集合とよぶ。ここで (''a'',''b'') は、'''順序対'''を表す。つまり一般には (''a'', ''b'') &ne; (''b'', ''a'') である。これらは、たとえ ''a'', ''b'' (''a'' &ne; ''b'') がともに ''A'' にも ''B'' にも属していたとしても異なるものとして区別される。したがって、集合としても
: <math>A\times B \ne B\times A</math>
である。
 
=== 定義Ejemplo 1 ===
El producto cartesiano del conjunto de trece rangos de la [[baraja inglesa]]
=== 有限直積 ===
: <math> Rangos = \{ As, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 \} \, </math>
''n'' 個の集合 ''A''<sub>1</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub> に対する直積集合を、
:<math>\prod^{n}_{i=1} A_i = \{(a_1,\dots,a_n) \mid a_1 \in A_1 \wedge \ldots \wedge a_n \in A_n \}</math>
と定義する。ここで (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) は ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> の ''n''-[[タプル|組]]である。'''<span style="font-size:120%">&prod;</span>'''<sub>''i''=1</sub><sup>''n''</sup>&nbsp;''A''<sub>''i''</sub> を ''A''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; ''A''<sub>''n''</sub> とも表す。
 
con el de los cuatro palos:
''A'', ''B'', ''C'' を集合とするとき、厳密に言えば
: <math>(A Palos = \times{ B)\timesspadesuit C,\quad A\times(B\timesheartsuit C),\quad A \timesblacklozenge , B\timesclubsuit C\}</math>
 
conjunto de las 52 cartas de la baraja:
はすべて集合として異なる。しかしこれらの間には
: <math> Baraja = \{(As , \spadesuit ), (As , \heartsuit ) , (As , \blacklozenge ) , \; \ldots \; , (2 , \heartsuit ), (2 , \blacklozenge ) , (2 , \clubsuit ) \} </math>
: <math>((a,b),c) \gets\!\mapsto (a,(b,c)) \gets\!\mapsto (a,b,c)</math>
 
la forma matemática de expresarlo es:
で与えられる自然 (canonical) な全単射が存在するので、誤解の恐れのない場合には、そして多くの場合に全て同一視（成分の並びを変えずに括弧だけを外）して考える。これは、このとき直積が集合間の演算として[[結合法則]]を満たすものと看做されたことを意味する。これは直積をとる集合の数が増えても同じことで、その意味で ''A''<sub>1</sub> &times; &hellip; &times; ''A''<sub>''n''</sub> は二つの集合の直積をとることの繰り返し
: <math>A_1\times\cdots Baraja = Rangos \times A_nPalos := \{ (A_1x,y) \timesmid x \cdotsin Rangos \times; A_{n-1})\timeswedge \; y \in Palos \} A_n</math>
であると考えてよい。
 
Si los conjuntos involucrados son [[conjunto finito|finitos]], la [[cardinalidad]] (o número de elementos) del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos involucrados:
=== 無限直積 ===
:<math>|X \times Y| = |X| \cdot |Y|</math>
必ずしも有限でない[[順序数]] &Lambda; で[[族 (数学)|添字付けられる集合の族]] {''A''<sub>&lambda;</sub>}<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> に対し、それらの直積集合を考えることもできる。この集合族に属する集合の（集合論的）直和を '''A''' = '''<span style="font-size:120%">&cup;</span>'''<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> ''A''<sub>&lambda;</sub> とし、添字集合 &Lambda; から '''A''' への写像全体の成す集合を Map(&Lambda;, '''A''') = &#x007b;''f'': &Lambda; &rarr; '''A''' &#x007c; ''f'' は写像&#x007d; とすると、直積は
En el ejemplo anterior, el número de elementos del producto era 52 = 13·4.
 
=== Ejemplo 2 ===
:<math> \{f\colon\Lambda \to \mathbf{A} \mid f(\lambda) \in A_\lambda,\,\forall\lambda\in\Lambda\} \subset \text{Map}(\Lambda,\mathbf{A})</math>
{| class="wikitable" border="1" align="right"
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon P4.svg|40px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 40.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 41.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 42.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 43.svg|60px]]
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon P3.svg|40px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 30.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 31.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 32.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 33.svg|60px]]
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon P2.svg|40px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 20.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 21.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 22.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 23.svg|60px]]
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon P1.svg|40px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 10.svg|60px]]
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| [[Archivo:CorresCartesi 12.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 13.svg|60px]]
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon P0.svg|40px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 00.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 01.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 02.svg|60px]]
| [[Archivo:CorresCartesi 03.svg|60px]]
|- align="right"
| bgcolor="ccffff" |
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon T0.svg|40px]]
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon T1.svg|40px]]
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon T2.svg|40px]]
| bgcolor="ccffff" | [[Archivo:Correspon T3.svg|40px]]
|}
 
Partiendo de los conjuntos '''T''' de tubos de pintura y '''P''' de pinceles:
という集合として定義される。写像 ''f'' は各 &lambda; &isin; &Lambda; に対してその像 ''a''<sub>&lambda;</sub> := ''f''(&lambda;) を与えれば決まるから、''f'' を元の族 (''a''<sub>&lambda;</sub>)<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> と同一視すれば
:{|
:<math>\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda \in A_\lambda,\, \forall\lambda \in \Lambda \}</math>
| <math> T = \{ \, </math>
と書くことができる。また、&Lambda; が有限順序数 {1, 2, ..., ''n''} であるとき、これが先に述べた有限直積と一致する概念を定めていることも確認できる。
| [[Archivo:Correspon T0.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon T1.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon T2.svg|30px]],
| [[Archivo:Correspon T3.svg|30px]]
| <math> \} \, </math>
|}
 
:{|
=== デカルト冪 ===
| <math> P = \{ \, </math>
集合 ''A'' に対し、''A'' とそれ自身との（任意個の）直積として得られる集合
| [[Archivo:Correspon P0.svg|30px]],
: <math>A\times A,\,A\times A\times A,\,\ldots</math>
| [[Archivo:Correspon P1.svg|30px]],
などを総称して、''A'' の'''デカルト冪''' {{lang|en|(Cartesian power)}} と呼ぶ。一般に有限順序数 ''n'' に対して
| [[Archivo:Correspon P2.svg|30px]],
: <math>\prod_{i=1}^n A = \overbrace{A\times A\times\cdots\times A}^{n} = \{(a_1,a_2,\ldots,a_n) \mid a_i \in A\}</math>
| [[Archivo:Correspon P3.svg|30px]],
はしばしば
| [[Archivo:Correspon P4.svg|30px]]
: <math>A^n,\, A^{\times n},\,\overset{n}{\times} A</math>
| <math> \} \, </math>
などと略記される。&Lambda; を任意の順序数とすれば、
|}
: <math>\prod_{\lambda\in\Lambda}A = \text{Map}(\lambda,A)</math>
である。'''R''' を[[実数]]全体の作る実数直線とすれば、デカルト冪の例として平面 '''R'''<sup>2</sup> = '''R''' &times; '''R''', 三次元空間 '''R'''<sup>3</sup> = '''R''' &times; '''R''' &times; '''R''', 一般に ''n''-次元ユークリッド空間（の台集合）'''R'''<sup>''n''</sup> を挙げることができる。あるいは実[[数列]]の全体も最小の超限順序数 &omega; で添字付けられた
: <math>\mathbb{R}^{\omega} = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots</math>
という無限デカルト冪と見ることができる。
 
El producto cartesiano de estos dos conjuntos será:
== 直積集合の濃度 ==
: <math> T \times P = \{ (x,y) \mid x \in T \; \wedge \; y \in P \} </math>
 
En el cuadro hemos representado el conjunto '''T''' en la fila inferior y el '''P''' en la columna de la izquierda, en el cuadro donde se cortan la columna de cada tubo y la fila de cada pincel esta el par ordenado tubo pincel del color correspondiente.
有限集合 ''A'', ''B'' の有限直積 ''A'' &times; ''B'' の[[濃度 (数学)|濃度]]は、|''A'' &times; ''B''| = |''A''||''B''| となる。これは、（場合の数に関する）'''積の原理'''から導くことができる。特にデカルト冪について |''A''<sup>''n''</sup>| = |''A''|<sup>''n''</sup> が成り立つ。
 
Aunque en la figura no se representa téngase en cuenta que son pares ordenados y que el primer elemento corresponde al tubo y el segundo al pincel:
{| class="wikitable" align="right"
 
|+ A &times; B
La representación en [[Coordenadas cartesianas]] de dos y tres dimensiones es una forma usual de representar el producto cartesiano de dos y tres conjuntos.
|-
<br clear=all>
|A\B
,
!1!!3
 
|-
== Generalización finita ==
!0
El '''cuadrado cartesiano''' de un conjunto ''X'' se define como ''X''<sup>2</sup> = ''X'' × ''X''. Un ejemplo de esto es el [[espacio euclídeo]] de dos dimensiones '''R'''<sup>2</sup> = '''R''' × '''R''', donde '''R''' es el conjunto de los [[número real|números reales]]; '''R'''<sup>2</sup> es entonces el conjunto de todos los puntos (''x'', ''y'') donde ''x'' e ''y'' son ambos reales.
|(0,1)||(0,3)
 
|-
Esto se puede generalizar a un '''producto cartesiano ''n''-ario''' sobre ''n'' conjuntos ''X''<sub>1</sub>,..., ''X<sub>n</sub>'':
!1
:<math>X_1\times\cdots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n)\mid x_1\in X_1\;\and\;\cdots\;\and\;x_n\in X_n\}.</math>
|(1,1)||(1,3)
Este conjunto se puede identificar con (''X''<sub>1</sub> ×... × ''X<sub>n-1</sub>'') × ''X<sub>n</sub>''; es un conjunto de ''n''-[[tupla]]s.
|-
 
!2
Análogamente al cuadrado cartesiano, se pueden usar potencias mayores: '''R'''<sup>3</sup> = '''R''' × '''R''' × '''R''' es el espacio euclídeo tridimensional.
|(2,1)||(2,3)
 
|-
== Productos arbitrarios ==
!3
La definición anterior usualmente basta para las aplicaciones matemáticas comunes. En algunos casos, sin embargo, puede ser necesario definir el producto cartesiano de una colección arbitraria (tal vez infinita) de conjuntos, y un intento de generalizar la definición de arriba a unas "tuplas inmensas" no tendría suficiente formalidad matemática.
|(3,1)||(3,3)
 
|}
Si ''I'' es cualquier conjunto, y si
一例として、
:<math>\{X_i\mid i \in I\}</math>
: ''A'' = {0, 1, 2, 3} （3以下の自然数の集合）
es una colección de conjuntos, se define
: ''B'' = {1, 3} （3以下の奇数の集合）
:<math>\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\mid \forall i:f(i) \in X_i\},</math>
このとき、&#x007c;''A''&#x007c; = 4, &#x007c;''B''&#x007c; = 2, ''A'' &times; ''B'' = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)} であって、実際に &#x007c;''A'' &times; ''B''&#x007c; = 8 = 4 &times; 2 = &#x007c;''A''&#x007c;&#x007c;''B''&#x007c; であることが確認できる。
esto es, la colección de todas las funciones definidas en el conjunto ''I'' cuyo valor en un índice cualquiera ''i'' es un elemento de ''X<sub>i</sub>''.
 
Para todo ''j'' ∈ ''I'', la función
== 直積の普遍性 ==
:<math> \pi_{j} : \prod_{i \in I} X_i \to X_{j}</math>
definida por
:<math> \pi_{j}(f) = f(j),\,</math>
se denomina '''proyección sobre la coordenada ''j'''''.
 
Una ''n''-tupla puede también verse como una función definida en {1, 2,..., ''n''}, cuyo valor en ''i'' es el ''i''-ésimo elemento de la tupla. Con esto, si ''I'' = {1, 2,..., ''n''}, la nueva definición coincide con la vieja.
各 &mu; &isin; &Lambda; に対し、標準的に定まる全射
:<math> \pi_\lambda\colon \prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \to A_\mu;\ (a_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mapsto a_\mu</math>
を第 &mu;-成分への[[射影]]あるいは簡単に &mu;-射影などと呼ぶ。
 
Un caso particular del producto infinito ocurre cuando el conjunto índice es '''N''', el conjunto de los [[número natural|naturales]]; en este caso, el producto es sencillamente el conjunto de secuencias infinitas cuyo ''i''-ésimo término pertenece a ''X<sub>i</sub>''. De nuevo se puede ver un ejemplo con '''R''':
射影を使うと、直積は次のような[[普遍性]]を持つものとして特徴付けることができる：
:<math>\prod_{n \in \mathbb N} \mathbb R =\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \cdots</math>
es la colección de secuencias infinitas de números reales, y fácilmente se puede ver como un vector con infinitas componentes.
 
También es de notar el caso en el que todos los conjuntos "factores" ''X<sub>i</sub>'' son iguales (ilustrado también por el ejemplo anterior). En este caso, la gran unión en la definición es sólo el único factor, y la segunda condición siempre se cumple; por lo tanto, el producto es solamente el conjunto de todas las funciones con dominio ''I'' y rango ''X'', denotado ''X<sup>I</sup>'' por analogía con los "exponentes cartesianos".
''B'' は集合で、各 &lambda; に対して写像 ''f''<sub>&lambda;</sub>: ''B'' &rarr; ''A''<sub>&lambda;</sub> が与えられているならば、写像 ''f'': ''B'' &rarr; '''<span style="font-size:120%">&prod;</span>'''<sub>&lambda;&isin;&Lambda;</sub> ''A''<sub>&lambda;</sub> で
: <math>f_\lambda = p_\lambda \circ f</math>
を満たすものがただ一つ存在する。
 
En otros casos, el producto cartesiano infinito es menos intuitivo, aunque muy valioso por sus aplicaciones en la matemática.
これを'''直積の普遍性'''と呼ぶ。集合の圏以外の圏、たとえば[[群 (数学)|群]]の圏などの[[代数的構造]]を持つ集合の圏についても一般に、直積とは、このような普遍性を持つ対象として定義される。（圏論的には直積の[[双対]]概念として[[直和]]がある。）
 
La afirmación de que el producto cartesiano de una colección arbitraria de conjuntos no [[conjunto vacío|vacíos]] tampoco es vacío es equivalente al [[axioma de elección]].
== 写像の直積 ==
ふたつの写像 ''f'': ''A'' &rarr; ''X'', ''g'': ''B'' &rarr; ''Y'' が与えられたとき、直積集合 ''A'' &times; ''B'' から直積集合 ''X'' &times; ''Y'' への写像を
: <math>(f\times g)(a,b) := (f(a),\,g(b))\quad (a\in A,\,b\in B)</math>
で定義することができる。この ''f'' &times; ''g'' を写像 ''f'', ''g'' の直積と呼ぶ。任意の有限あるいは無限個の写像の直積も同様に定義できる。
 
== Teoría de la categoría ==
== 関連項目 ==
En la [[teoría de categorías]], el producto cartesiano no es más que el producto en la [[categoría de conjuntos]].
* [[数学的構造]]
* [[直和]]
* [[選択公理]]
* [[テンソル積]]
 
== 外部リンクVéase también ==
* [[Relación binaria]]
* {{PlanetMath|title=Cartesian product|urlname=CartesianProduct}}
* [[Producto directo]]
* {{MathWorld|title=Cartesian Product|urlname=CartesianProduct}}
* [[Par ordenado]]
* [[Tupla]]
 
[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
{{DEFAULTSORT:ちよくせきしゆうこう}}
[[Category:集合論]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
[[ar:جداء ديكارتي]]
Línea 114 ⟶ 147:
[[en:Cartesian product]]
[[eo:Kartezia multipliko]]
[[es:Producto cartesiano]]
[[et:Otsekorrutis]]
[[fa:ضرب دکارتی]]
Línea 125 ⟶ 157:
[[is:Faldmengi]]
[[it:Prodotto cartesiano]]
[[ja:直積集合]]
[[ka:დეკარტული ნამრავლი]]
[[ko:곱집합]]
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