Diferencia entre revisiones de «Anexo:Identidades trigonométricas»
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'''Notación:''' se define cos<sup>2</sub>α, sen<sup>2</sub>α, etc; tales que sen<sup>2</sub>α es (sen α)<sup>2</sub>.
== Relaciones básicas ==
{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF"
! Relación pitagórica
|<math>\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,</math>
|-
! Identidad de la razón
|<math>\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}</math>
|}
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si <math>\scriptstyle\operatorname{sen} \theta \,=\, 1/2</math>, la conversión propuesta en la tabla indica que <math>\scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{3}/2</math>, aunque es posible que <math>\scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2</math>. Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
|+ Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
|-
! sen
|
| <math> \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} </math>
| <math> \frac{1}{\csc \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 - \cos^2\theta} </math>
|-
! cos
| <math> \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} </math>
| <math> \cos \theta\ </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} </math>
| <math> \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} </math>
| <math> \frac{1}{\sec \theta} </math>
| <math> \frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta} </math>
|-
! tan
| <math> \frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math>
| <math> \tan \theta\ </math>
| <math> \frac{1}{\cot \theta} </math>
| <math> \sqrt{\sec^2\theta - 1} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|-
! cot
| <math> {\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta} </math>
| <math> {\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \tan\theta} </math>
| <math> \cot\theta\ </math>
| <math> {1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>
| <math> \sqrt{\csc^2\theta - 1} </math>
|-
! sec
| <math> {1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}} </math>
| <math> {1 \over \cos \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 + \tan^2\theta} </math>
| <math> {\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta} </math>
| <math>\sec\theta\ </math>
| <math> {\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|-
! csc
| <math> {1 \over \operatorname{sen} \theta} </math>
| <math> {1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}} </math>
| <math> {\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta} </math>
| <math> \sqrt{1 + \cot^2 \theta} </math>
| <math> {\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}} </math>
| <math> \csc \theta\ </math>
|}
== De las definiciones de las funciones trigonométricas ==
: <math> \tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}} </math>
: <math>\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}} </math>
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
: <math> \operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi) </math>
:<math> \operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi) </math>
:<math> \tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x) </math>
:<math> \operatorname{sen}(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
\qquad \cos(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
</math>
A veces es importante saber que cualquier [[combinación lineal]] de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
:<math>a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)</math>
:<math>\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1</math>
Es llamada '''identidad trigonométrica fundamental''', y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo ''conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora)''.
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
:<math>\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right) </math>
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
:<math>\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right) </math>
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
:<math>\operatorname{sen}(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)}
\qquad \operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}</math>
:<math>\operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}}
\qquad \operatorname{sen}(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}
</math>
y análogamente con las restantes funciones .
== Teoremas de la suma y diferencia de ángulos ==
Pueden demostrarse según la [[Fórmula de Euler]] o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
Línea 61 ⟶ 166:
: <math> \cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right) </math>
== Identidades del ángulo
Si ''T<sub>n</sub>'' es el ''n''-simo [[Polinomio de Chebyshev]] entonces
Línea 105 ⟶ 210:
|}
=== Producto infinito de [[
: <math> \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
Línea 245 ⟶ 350:
:<math>\arctan(x)+\arctan(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..</math>
:<math>\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)</math>
=== Composición de funciones trigonométricas ===
{|
!
!
|-----
|
:<math>\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=1-x^2</math>
:<math>\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=\frac{x^2}{1+x^2}</math>
:<math>\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
:<math>\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math>
|
:<math>\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>
:<math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math>
:<math>\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=1-x^2</math>
:<math>\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}</math>
|}
== Fórmula de productos infinitos ==
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