Diferencia entre revisiones de «Máximo común divisor»
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El m.c.d. también se utiliza para calcular el [[mínimo común múltiplo]] de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Asi, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo <math>\frac {48 \cdot 60}{12} </math> = 240.
== Propiedades ==
1. Si <math>\ \operatorname{mcd}(a,b)=d</math> entonces <math>\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1 </math>
2. Si <math>\ m</math> es un entero, <math>\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)</math>
3. Si <math>\ p</math> es un número primo, entonces <math>\ \operatorname{mcd}(p,m)=p</math> o bien <math>\ \operatorname{mcd}(m,p)=1</math>
4. Si <math>\ d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=dm',\ n=dn'</math>, entonces <math>\ \operatorname{mcd}(m',n')=1</math>
5. Si <math>d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1</math>, entonces <math>\ d=d' </math>
6. Si <math>\ d'</math> es un divisor común de <math>\ m</math> y <math>\ n</math>, entonces <math>d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)</math>
7. Si <math>\ m=nq+r</math>, entonces <math>\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)</math>
8. Si <math>\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k</math>, entonces:
<math> \operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)} </math>
La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....
[[Geometría|Geométricamente]], el máximo común divisor de ''a'' y ''b'' es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (''a'',''b''), excluyendo el (0,0).
En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
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