Diferencia entre revisiones de «Movimiento browniano»
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Ahora volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente en el agua. Una molécula de agua mide aproximadamente de 01 a 0.2 nm, mientras que la partícula de polen que Brown observó era de un orden de micrometros (esto no debe ser confundido con la partícula actual de polen la cual mide en torno a 100 micrometros). Así pues, la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón empujado constantemente por las moléculas de agua (la muchedumbre). El movimiento browniano de las partículas en un líquido se debe al desequilibrio instantáneo en las fuerzas ejercidas por las pequeñas moléculas líquidas que rodean la partícula (las cuales están en un movimiento térmico aleatorio).
==Teoría==
===Modelo de Smoluchowski===
La teoría del movimiento Browniano de Smoluchowski<ref>{{cite book |last=Smoluchowski |first=M. |year=1906 |journal=<!--old, abbreviated text: Bull. Int. De l'Acad. Des Sci. De Cracovie-->Bulletin International de l'Academie des Sciences de Cracovie |page=202 |url=https://archive.org/stream/bulletininternat1906pols#page/202/mode/2up |title=<!--Polish:-->O średniej drodze cząsteczek gazu i o związku jej z teoryą dyfuzyi <!--French:-->(Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion) <!--French:-->Mémoire présenté par M. Lad. Natanson, m. t. |trans_title=On the average path of the gas molecules and its relationship with the theory of diffusion (Submission by Mr. Lad. Natanson, m. t.)}} {{link note|note=This is from a scanned copy of the text that came from Archive.org. [https://archive.org/details/bulletininternat1906pols Main page here.]}}</ref> comienza a partir de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ (x, t) para el desplazamiento de una partícula Browniana lo largo de x en un tiempo t. Por lo tanto, obtiene la misma expresión para la media al cuadrado:
<math>\overline{(\Delta x)^2}</math>. Sin embargo, cuando se la relaciona con una partícula de masa ''m'' que se mueve a una velocidad ''u'', la cual es resultado de una fuerza de fricción gobernada por la ley de Stokes, encuentra
:<math>\overline{(\Delta x)^2}=2Dt=t\frac{32}{81}\frac{\mu^2}{\pi\mu a}=t\frac{64}{27}\frac{\frac{1}{2}\mu^2}{3\pi\mu a},</math>
donde μ es el coeficiente de viscosidad, y ''a'' es el radio de la partícula. La asociación de la energía cinética <math>\mu^2/2</math> con la energía térmica ''RT/N'', la expresión para el desplazamiento medio al cuadrado es 64/27 veces mayor que la dada por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en la necrología de Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que se diferencia de Smoluchowski por 27/64 sólo puede ser puesto en duda."<ref>{{Cite journal |last=Sommerfeld |first=A. |date=15 November 1917|journal=Physikalische Zeitschrift |title=Zum Andenken an Marian von Smoluchowski |trans_title=In Memory of Marian von Smoluchowski |language=de |issue=22 |volume=18 |pages=533–539}} at p. 535</ref>
Smoluchowski<ref>{{cite book |last=Smoluchowski |first=M. |year=1906 |journal=<!--old, abbreviated text: Bull. Int. De l'Acad. Des Sci. De Cracovie-->Bulletin International de l'Academie des Sciences de Cracovie |page=577 |url=https://archive.org/stream/bulletininternat1906pols#page/577/mode/2up |title=<!--Polish-->Zarys teoryi kinetycznej ruchu Brownai roztworów mętnych. <!--French:-->(Essai d'une théorie cinétique du mouvement Brownien et des milieux troubles). <!--French:-->Mémoire présenté par M. Lad. Natanson m. t. |trans_title=Test of a kinetic theory of Brownian motion and turbid media. (Submission by Mr Lad. Natanson m. t.)}} {{link note|note=This is from a scanned copy of the text that came from Archive.org. [https://archive.org/details/bulletininternat1906pols Main page here]}}</ref> intenta responder a la pregunta de por qué una partícula Browniana debe ser desplazada por los bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de golpear hacia delante o hacia atrás son iguales. Con el fin de hacerlo, utiliza, sin saberlo, el teorema de votación, demostrado por primera vez por William Allen Whitworth en 1878.<ref>{{Cite journal |last=Whithworth |first= W. A.|year=1965 |title=Choice and Chance|publisher=Hafner Pub. Co. }}</ref> El teorema de la balota establece que si un candidato A puntúa ''m'' votos y el candidato B puntúa ''n'' - ''M'' la probabilidad a lo largo del recuento de que A tenga más votos que B es
:<math>\frac{[m-(n-m)]}{[m+n-m]} = \frac{2m-n}{n},</math>
no importa cuán grande pueda ser el número total de votos ''n''. En otras palabras, si un candidato tiene una ventaja sobre el otro candidato, tenderá a mantener esa ventaja a pesar de que no haya nada a favor de ningún candidato en una votación.
Si la probabilidad de 'm' 'ganancias' y ''n'' - ''M'' pérdidas sigue un distribución binomial,
:<math>P_{m,n}=\binom{n}{m}2^{-n},</math>
con las mismas probabilidades de 1/2, ''a priori'', la ganancia media total es
:<math>\overline{2m-n}=\sum_{m=\frac{n}{2}}^n (2m-n)P_{m,n}=\frac{n n!}{2^n \left [ \left (\frac{n}{2} \right )! \right ]^2}.</math>
Si ''n'' es lo suficientemente grande para que la aproximación de Stirling pueda ser utilizada de la forma
:<math>n!\approx\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n},</math>
entonces la ganancia total que se prevé será
:<math>\overline{2m-n}\approx\sqrt{\frac{2n}{\pi}},</math>
mostrando que aumenta como la raíz cuadrada de la población total.
Supongamos que una partícula Browniana de masa ''M'' está rodeada de partículas más ligeras de masa ''m'', que viajan a una velocidad ''u''. A continuación, razona Smoluchowski, en cualquier colisión entre partículas que rodean a las Brownianas y estas, la velocidad de transmisión de este último será ''mu'' / ''M''. Esta relación es del orden de 10<sup>−7</sup> cm/s. Pero también tenemos que tener en cuenta que en un gas habrá más de 10<sup>16</sup> colisiones por segundo, y aún más en un líquido, donde se estiman 10<sup>20</sup> colisiones por segundo. Algunas de estas colisiones tenderán a acelerar la partícula Browniana; otras a desacelerarla. Si hay un exceso medio de un tipo de colisión u otro que sea del orden de 10<sup>8</sup> a 10<sup>10</sup> colisiones por segundo, entonces la velocidad de la partícula Browniana puede estar en cualquier lugar entre 10 y 1000 cm/s. Por lo tanto, a pesar de que existen probabilidades iguales de que se favorezca el movimiento hacia delante y hacia atrás, habrá una tendencia neta en las colisiones para mantener la partícula en movimiento Browniano, al igual que predice el teorema de la votación.
Estos órdenes de magnitud no son exactos porque no tienen en cuenta la velocidad de la partícula Browniana, '' U '', que depende de las colisiones que tienden a acelerar y desacelerar la misma. Cuanto mayor sea ''U'', mayores serán las colisiones que retardarán la partícula, de manera que la velocidad de una partícula Browniana nunca puede aumentar sin un límite. Podría ocurrir un proceso de este tipo, que sería equivalente a un movimiento perpetuo del segundo tipo. Y puesto que la equipartición de la energía se aplica, la energía cinética de la partícula Browniana, <math>MU^2/2</math>, será igual, en promedio, a la energía cinética del fluido que rodea a la partícula, <math>mu^2/2</math>.
En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula sometida al movimiento Browniano.<ref>{{cite journal |last=Smoluchowski |first=M. |year=1906 |title=Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen |journal=[[Annalen der Physik]] |volume=326 |issue=14 |pages=756–780 |doi=10.1002/andp.19063261405 |bibcode=1906AnP...326..756V}}</ref> El modelo asume colisiones con '' M '' ≫ ''m'' donde '' M '' es la masa de la partícula de prueba y '' m '' la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones de partículas se limitan a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula pueda ser golpeada desde la izquierda como desde la derecha. Se supone también que cada colisión siempre imparte la misma magnitud de Δ''V ''. Si ''N<sub>R</sub>'' es el número de colisiones por la derecha, y ''N<sub>L</sub>'' por la izquierda, entonces después de ''N'' colisiones, la velocidad de la partícula habrá cambiado por Δ''V''(2''N<sub>R</sub>−''N''). La multiplicidad está dada, entonces, por:
:<math> \binom{N}{N_R} = \frac{N!}{N_R!(N-N_R)!}</math>
y el número total de estados posibles está dado por 2<sup>''N''</sup>. Por lo tanto, la probabilidad de que una partícula sea golpeada por la derecha ''N<sub>R</sub>'' veces es
:<math>P_N(N_R)=\frac{N!}{2^NN_R!(N-N_R)!}</math>
Como resultado de su simplicidad, el modelo unidimensional de Smoluchowski puede describir solamente cualitativamente el movimiento Browniano. Para una partícula real sometida al movimiento Browniano en un fluido, muchos de los supuestos no se pueden hacer. Por ejemplo, el supuesto de que en promedio se produce un número igual de colisiones desde la derecha como desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento. Además, habría una distribución de posibles Δ''V'' diferentes en lugar de sólo uno en una situación real.
== Modelos matemáticos para la descripción del movimiento browniano ==
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